Autovettori e diagonalizzabilità
Ciao, ho un esercizio da controllare e spero nel vostro aiuto!
Si determinino $a$ e $b$ in modo che la matrice $((1,2,a),(1,2,2a),(b,0,0))$ abbia $(1,1,3)$ come autovettore e si dica se la matrice così ottenuta è diagonalizzabile.
Allora il 1° punto significa analizzare per quali $a,b$ è verificata:
$((1,2,a),(1,2,2a),(b,0,0))*((1),(1),(3))=lambda((1),(1),(3))$, vero?
Che porta al sistema
${(3+3a=lambda),(3+6a=lambda),(b=3lambda):}$ e la 1° e la 2° equazione del sitema sono verificate contemporaneamente solo se $a=0$, da cui ricavo $lambda=3$ e $b=9$.
Per cui ho trovato l'autovalore $lambda=3$. Ora però mi viene un dubbio. PEr vedere se è diagonalizzabile dovrei controllare se la dimensione dell'autospazio relativo a $lambda=3$ coincide o meno con la molteplicità algebrica, che però non ho, quindi devo lo stesso trovare il polinomio caratteristico partendo dalla matrice $((1,2,0),(1,2,0),(9,0,0))$?
Se si ditemelo così completo il post.
Si determinino $a$ e $b$ in modo che la matrice $((1,2,a),(1,2,2a),(b,0,0))$ abbia $(1,1,3)$ come autovettore e si dica se la matrice così ottenuta è diagonalizzabile.
Allora il 1° punto significa analizzare per quali $a,b$ è verificata:
$((1,2,a),(1,2,2a),(b,0,0))*((1),(1),(3))=lambda((1),(1),(3))$, vero?
Che porta al sistema
${(3+3a=lambda),(3+6a=lambda),(b=3lambda):}$ e la 1° e la 2° equazione del sitema sono verificate contemporaneamente solo se $a=0$, da cui ricavo $lambda=3$ e $b=9$.
Per cui ho trovato l'autovalore $lambda=3$. Ora però mi viene un dubbio. PEr vedere se è diagonalizzabile dovrei controllare se la dimensione dell'autospazio relativo a $lambda=3$ coincide o meno con la molteplicità algebrica, che però non ho, quindi devo lo stesso trovare il polinomio caratteristico partendo dalla matrice $((1,2,0),(1,2,0),(9,0,0))$?
Se si ditemelo così completo il post.
Risposte
La B è vera, ed è giusto il tuo procedimento, la C è falsa, ad esempio i vettori $(1,0,0)$, $(2,0,0)$, $(3,0,0)$ sono tre autovettori della matrice, ma non mi sembrano proprio ortogonali...
"Tipper":
La B è vera, ed è giusto il tuo procedimento, la C è falsa, ad esempio i vettori $(1,0,0)$, $(2,0,0)$, $(3,0,0)$ sono tre autovettori della matrice, ma non mi sembrano proprio ortogonali...
Hai ragione, è stata una svista, perchè avevo male interpretato la frase..
Ne posto subito un'altro, perchè ho ancora dei dubbi..
Siano $bbu, bbv, bbw$ vettori linearmente indipendenti dello spazio dei vettori geometrici $bbV^3$; quale delle seguenti affermazioni è falsa?
A) almeno uno dei 3 vettori è il prodotto vettoriale degli altri 2
B)esiste un endomorfismo di $bbV^3$ il cui nucleo è $
C) ogni matrice che ha per colonne le componenti dei vettori $bbu, bbv, bbw$ rispetto ad una base $bbB$ di $bbV^3$ è invertibile
Allora, la B) mi sembra plausibile in qualche caso, per cui è vera!
La 3° anche credo sia vera, perchè se considero ad esempio le componenti dei 3 vettori rispetto alla base canonica mi viene la matrice che ha i 3 vettori come colonne, ed essendo questi linearmente indipendenti avrà determinante uguale a $0$ perciò sarà invertibile. Anche se mi rende un po' perplesso il fatto che ci sia quel "rispetto ad una base $bbB$". (se ad es considero le componenti dei vettori rispetto alla base canonica e sono linearmente indipendenti, lo saranno anche rispetto a qualsiasi altra base???)
Per cui direi che è la 1° visto che il prodotto vettoriale di 2 ne "produce" uno ortogonale e non è necessario che 1 sia ortogonale agli altri 2 per essere linearmente indipendente
La C è vera, se sono linearmente indipendenti non conta rispetto a quale base li scrivi, sono linearmente indipendenti e basta. La matrice avrà determinante diverso da zero, ma sono sicuro del fatto che quello sia stato solo un errore di battitura.
Se puoi scrivere un vettore come prodotto vettoriale degli altri due, significa che quel vettore è ortogonale agli altri due, ma se tu sai che i tre vettori sono linearmente indipendenti non è detto anche che uno sia ortogonale agli altri, come giustamente hai detto.
Se puoi scrivere un vettore come prodotto vettoriale degli altri due, significa che quel vettore è ortogonale agli altri due, ma se tu sai che i tre vettori sono linearmente indipendenti non è detto anche che uno sia ortogonale agli altri, come giustamente hai detto.
"Tipper":
La C è vera, se sono linearmente indipendenti non conta rispetto a quale base li scrivi, sono linearmente indipendenti e basta. La matrice avrà determinante diverso da zero, ma sono sicuro del fatto che quello sia stato solo un errore di battitura.
Se puoi scrivere un vettore come prodotto vettoriale degli altri due, significa che quel vettore è ortogonale agli altri due, ma se tu sai che i tre vettori sono linearmente indipendenti non è detto anche che uno sia ortogonale agli altri, come giustamente hai detto.
Si, era un errore di battitura, correggo subito. Cmq ti ringrazio ancora della disponibilità! Mi è molto utile spazzare via qualche dubbio che ancora mi rimane..
"Dust":
[quote="Tipper"]La B è vera, ed è giusto il tuo procedimento, la C è falsa, ad esempio i vettori $(1,0,0)$, $(2,0,0)$, $(3,0,0)$ sono tre autovettori della matrice, ma non mi sembrano proprio ortogonali...
Hai ragione, è stata una svista, perchè avevo male interpretato la frase..
Ne posto subito un'altro, perchè ho ancora dei dubbi..
Siano $bbu, bbv, bbw$ vettori linearmente indipendenti dello spazio dei vettori geometrici $bbV^3$; quale delle seguenti affermazioni è falsa?
A) almeno uno dei 3 vettori è il prodotto vettoriale degli altri 2
B)esiste un endomorfismo di $bbV^3$ il cui nucleo è $
C) ogni matrice che ha per colonne le componenti dei vettori $bbu, bbv, bbw$ rispetto ad una base $bbB$ di $bbV^3$ è invertibile
Allora, la B) mi sembra plausibile in qualche caso, per cui è vera!
La 3° anche credo sia vera, perchè se considero ad esempio le componenti dei 3 vettori rispetto alla base canonica mi viene la matrice che ha i 3 vettori come colonne, ed essendo questi linearmente indipendenti avrà determinante diverso da $0$ perciò sarà invertibile. Anche se mi rende un po' perplesso il fatto che ci sia quel "rispetto ad una base $bbB$". (se ad es considero le componenti dei vettori rispetto alla base canonica e sono linearmente indipendenti, lo saranno anche rispetto a qualsiasi altra base???)
Per cui direi che è la 1° visto che il prodotto vettoriale di 2 ne "produce" uno ortogonale e non è necessario che 1 sia ortogonale agli altri 2 per essere linearmente indipendente[/quote]
per sbaglio ho quotato invece di modificare........
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