Autovettori e autovettori

[lepre56]

Salve il mio prof chiede la dimostrazione di questo enunciato.

Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.

L'enunciato mi sembra abbastanza ovvio e scontato quasi come se fosse un "assioma". Quindi come posso procedere per una dimostrazione??

[killing_buddha]

Scrivere le definizioni degli aggeggi in gioco è un buon punto di partenza.

[lepre56]

"killing_buddha":Scrivere le definizioni degli aggeggi in gioco è un buon punto di partenza.

Un vettore non nullo $v in V$ si dice autovettore per f se $f(v)=lambdav$
Uno scalare $lambda$ si dice autovalore di f se esiste un autovettore $v$ tale che valga $f(v)=lambdav$

Ragionandoci su ho pensato che si potesse dimostrare per induzione. Però non so se sia la scelta giusta.

E' giusto il ragionamento???

[killing_buddha]

Non c'è nessun ragionamento in quel che hai scritto, quindi no

Ora se prendi \(\lambda\neq \mu\) e $v_\lambda$ autovettore per $\lambda$, $v_\mu$ autovettore per $\mu$, supponi sia vero che $av_\lambda + bv_\mu=0$...

[lepre561]

"killing_buddha":Non c'è nessun ragionamento in quel che hai scritto, quindi no

Ora se prendi \(\lambda\neq \mu\) e $v_\lambda$ autovettore per $\lambda$, $v_\mu$ autovettore per $\mu$, supponi sia vero che $av_\lambda + bv_\mu=0$...

Allora per rispondere a quello che hai detto credo che se $lambda != mu$ deve risultare per forza $a=v=0$ quindi sono linearmente indipendenti.

la mia dimostrazione basata sul metodo induttivo era questa adesso la scrivo e vediamo se c'entra qualcosa.

Consideriamo la combinazione lineare: $a_1v_1+...+a_nv_n=0$.
Moltipicando per $A$ segue: $a_1aAv_1+...+a_nAv_n=0$
da cui :$a_1lambdav_1+...a_nlambda_nv_n=0$
sottreando per $lambda_1$: $(lambda_2-lambda_1)a_2v__2+...+(lambda_n-lambda_1)a_nv_n=0$

Per ipotesi induttiva ${v_2,...,v_n}$ sono indipendenti. Quindi $(lambda_i-lambda_1)a_i=0$ per $i=2,..,n$.
Siccome $(lambda_i-lambda_1) in 0$ segue $a_i=0$ per $i=2,...,n$.

Sostituendo in$a_1v_1+...+a_nv_n$ si ottiene $a_1=0$ come volevamo

[Magma1]

"noxx98":
Ragionandoci su ho pensato che si potesse dimostrare per induzione.

"lepre561":
la mia dimostrazione basata sul metodo induttivo era questa adesso la scrivo e vediamo se c'entra qualcosa.

Ma lepre561 e noxx98 sono la stessa persona?

[lepre561]

no ahahahahah studiamo solo insieme quindi capita di stare su tutti e due account

Lecita osservazione ahahahahahah

[lepre56]

nessuno????