Autovettori e autovalori
Una proposizione studiata mi dice che: se ogni v appartenente a V, escluso il vettore nullo, è autovettore per f, allora esiste uno scalare k tale che f= id v. (f, ovviamente, operatore lineare). Capisco, e forse sbaglio, che in questo caso esiste un unico autovalore comune.
Un altro dice che se V è somma diretta di tutti gli autospazi per f(operatore lineare), relativi ai vari autovalori, è diagonalizzabile.
Il secondo non sta a significare che ogni vettore di v è autovalore? Non riesco a mettere insieme i due teoremi... È molto che ci rifletto, ma mi sembra che il secondo ricada nel primo, eppure si evince chiaramente da esempi relativi al secondo che non è così...essendoci esempi con autovalori effettivamente diversi.
Grazie mille in anticipo per le risposte.
Un altro dice che se V è somma diretta di tutti gli autospazi per f(operatore lineare), relativi ai vari autovalori, è diagonalizzabile.
Il secondo non sta a significare che ogni vettore di v è autovalore? Non riesco a mettere insieme i due teoremi... È molto che ci rifletto, ma mi sembra che il secondo ricada nel primo, eppure si evince chiaramente da esempi relativi al secondo che non è così...essendoci esempi con autovalori effettivamente diversi.
Grazie mille in anticipo per le risposte.
Risposte
"Carmine12":
Una proposizione studiata mi dice che: se ogni v appartenente a V, escluso il vettore nullo, è autovettore per f, allora esiste uno scalare k tale che f= id v. (f, ovviamente, operatore lineare). Capisco, e forse sbaglio, che in questo caso esiste un unico autovalore comune.
questa proposizione non l'ho capita. anzitutto mi serve che definisci cosa siano i termini e che scrivi con le formule per capire esattamente la proposizione. oltretutto sembra esista un certo k del quale però non viene più fatto uso. è un tuo errore oppure è così e basta?
"Carmine12":
Un altro dice che se V è somma diretta di tutti gli autospazi per f(operatore lineare), relativi ai vari autovalori, è diagonalizzabile.
Il secondo non sta a significare che ogni vettore di v è autovalore? Non riesco a mettere insieme i due teoremi...
sinceramente non credo che i due teoremi siano collegati. il secondo ti sta semplicemente dando un criterio di diagonizzabilità: se riesci a dimostrare che lo spazio vettoriale V si decompone nella somma diretta degli autospazi allora puoi affermare che f sia diagonalizzabile (con però i $lambda_k$ distinti).
Chiedo scusa. Ovviamente la proposizione è: Sia V un K-spazio vettoriale e sia f:V->V lineare. Se ogni vettore di V (escluso il vettore nullo) è un autovettore per f, allora esiste uno scalare k tale che f= k id(v).
Id (v) è l'applicazione id:V->V che associa, ad ogni v di V, v stesso.
A questo punto, la prima proposizione lascia intendere che esista un unico autovalore comune, questo perché tutti i vettori di V sono autovettori. La seconda, pur essendo un criterio di diagonalizzabilità, non presuppone che V, decomponendosi completamente nei suoi autospazi, sia composto da soli autovettori? Eppure, ovviamente, gli autovalori sono tutti diversi, essendoci vari autospazi.
Spero di essere stato più chiaro, grazie.
Id (v) è l'applicazione id:V->V che associa, ad ogni v di V, v stesso.
A questo punto, la prima proposizione lascia intendere che esista un unico autovalore comune, questo perché tutti i vettori di V sono autovettori. La seconda, pur essendo un criterio di diagonalizzabilità, non presuppone che V, decomponendosi completamente nei suoi autospazi, sia composto da soli autovettori? Eppure, ovviamente, gli autovalori sono tutti diversi, essendoci vari autospazi.
Spero di essere stato più chiaro, grazie.
la prima proposizione io proverei a dimostrarla così (spero di non dire fesserie):
l'equazione agli autovalori $fv=kv -> (f-k*id)v=0$ e poichè $v != 0, AAv in V$ in quanto autovettore deve essere $f=k* \text{id}$
dunque ti dice che se ogni vettore dello spazio da cui parti è autovettore, necessariamente la tua funzione è un multiplo dell'identità. non dice nulla sugli autovalori. è vero che tutti sono autovettori ma non ha detto necessariamente dello stesso autovalori, magari esistono autospazi diversi che però coinvolgono la totalità dei vettori di V.
se così fosse mi sembra di poter asserire che quindi ogni funzione diagonalizzabile ha come spazio vettoriale uno spazio costituito da tutti autovettori e nella maggior parte dei casi (leggi esercizi) questo non è vero.
mi sembra tu voglia cavare qualcosa di profondo da qualcosa che profondo non è
l'equazione agli autovalori $fv=kv -> (f-k*id)v=0$ e poichè $v != 0, AAv in V$ in quanto autovettore deve essere $f=k* \text{id}$
dunque ti dice che se ogni vettore dello spazio da cui parti è autovettore, necessariamente la tua funzione è un multiplo dell'identità. non dice nulla sugli autovalori. è vero che tutti sono autovettori ma non ha detto necessariamente dello stesso autovalori, magari esistono autospazi diversi che però coinvolgono la totalità dei vettori di V.
"Carmine12":
La seconda, pur essendo un criterio di diagonalizzabilità, non presuppone che V, decomponendosi completamente nei suoi autospazi, sia composto da soli autovettori?
se così fosse mi sembra di poter asserire che quindi ogni funzione diagonalizzabile ha come spazio vettoriale uno spazio costituito da tutti autovettori e nella maggior parte dei casi (leggi esercizi) questo non è vero.
mi sembra tu voglia cavare qualcosa di profondo da qualcosa che profondo non è
In effetti è un po' strano. Dove l'hai preso il testo delle proposizioni? Perchè se non ti dice che ogni $v\inV$ è autovettore relativo allo stesso autovalore, lo puoi interpretare come hai fatto, poi visto che ti dice $f=\lambdaId_v$ è ovvio che intende autovettori relativi allo stesso autovalore. La seconda proposizone va bene, anche se non capisco perchè deve specificare che gli autospazi sono in somma diretta, visto che si dimostra che lo sono sempre.
Il mio consiglio è: cerca quelle proposizioni su pdf in rete o su un libro, e trovane due scritte rigorosamente.
Il mio consiglio è: cerca quelle proposizioni su pdf in rete o su un libro, e trovane due scritte rigorosamente.
La prima proposizione è vera invece:
se
$f(v+w)=kf(v)+kf(w)=kf(v+w)$ perciò ogni vettore dello spazio deve essere associato allo stesso autovalore, senò non si potrebbe raccogliere il $k$ e $v+w$ non sarebbe autovettore per $f$. Percio ogni vettore è un autovettore implica che l'autovalore è uno solo.
Cmq carmine,
se un endomorfismo è diagonalizzabile, non vuol dire che ogni vettore dello spazio è autovettore.
Pensa ad un endomorfismo di $R^3$ in $R^3$ che ha tre autovalori distinti, ha 3 autospazi di dimensione 1, ora se prendi due vettori che stanno in autospazi diversi e li sommi, non ottieni un autovettore!!!
Invece, l'unico modo per cui ogni vettore di $R^3$ è autovettore è che esista un unico autospazio di dimensione 3.
se
$f(v+w)=kf(v)+kf(w)=kf(v+w)$ perciò ogni vettore dello spazio deve essere associato allo stesso autovalore, senò non si potrebbe raccogliere il $k$ e $v+w$ non sarebbe autovettore per $f$. Percio ogni vettore è un autovettore implica che l'autovalore è uno solo.
Cmq carmine,
se un endomorfismo è diagonalizzabile, non vuol dire che ogni vettore dello spazio è autovettore.
Pensa ad un endomorfismo di $R^3$ in $R^3$ che ha tre autovalori distinti, ha 3 autospazi di dimensione 1, ora se prendi due vettori che stanno in autospazi diversi e li sommi, non ottieni un autovettore!!!
Invece, l'unico modo per cui ogni vettore di $R^3$ è autovettore è che esista un unico autospazio di dimensione 3.
Vi ringrazio davvero tanto per le risposte. Effettivamente avevo interpretato male il tutto concettualmente. Ora però mi sembra essere tutto chiaro, sopratutto grazie all'esempio di Sebastiantum.
Per quanto riguarda la prima proposizione, cerco di trovarne una versione più rigorosa come consigliatomi, cercando di capirne bene le condizioni di validità. Grazie ancora.
Per quanto riguarda la prima proposizione, cerco di trovarne una versione più rigorosa come consigliatomi, cercando di capirne bene le condizioni di validità. Grazie ancora.
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