Autovettori e Autovalori

[roby12341]

Qualcuno può dirmi dove sbaglio?
gli autovalori mi escono 1 e 2 ma dovrebbero venire: 0,2,3



[xdom="Martino"]Spostato in Algebra lineare. Attenzione alla sezione, grazie.[/xdom]

[Jokah]

Riscrivi la matrice associata ad $(A-\lambdaI)$ come segue:

\(\left(\begin{array}{ccc} -(\lambda-2) & 1 & 0 \\ 1 & -(\lambda-1) & -1 \\ 0 & -1 & -(\lambda-2) \end{array}\right)\)

Il polinomio caratteristico $P(\lambda)$ è dato da \(-(\lambda-2)(\lambda-1)(\lambda-2) +2(\lambda-2)\)

In particolare $(\lambda+\alpha)(\lambda+\beta)(\lambda+\gamma) = \lambda^3 +(\alpha+\beta+\gamma)\lambda^2 + (\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma)\lambda + \alpha\beta\gamma$

Ponendo

\(\begin{cases} \alpha = -2 \\ \beta = -1 \\ \gamma = -2 \end{cases} \to \begin{cases} \alpha+\beta+\gamma = -5 \\ \alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = 8 \\ \alpha\beta\gamma = -4 \end{cases}\)

Da cui, $P(\lambda) = -\lambda^3+5\lambda^2-8\lambda+4+2(\lambda-2) \to -\lambda^3+5\lambda^2-6\lambda$

Per cui $P(\lambda) = 0 \to -\lambda^3+5\lambda^2-6\lambda = 0 \to -\lambda(\lambda^2 - 5\lambda+ 6) = 0$
Equivalente a $-\lambda(\lambda-3)(\lambda-2) = 0$ da cui trovi facilmente le radici.

[sandroroma]

Per semplificare il procedimento si può anche mettere in evidenza $\lambda -2$ dall'inizio:
$P(\lambda)=(\lambda-2)[-(\lambda-2)(\lambda-1)+2]
=(\lambda-2)(-\lambda^2+3\lambda-2+2)
=(\lambda-2)(-\lambda^2+3\lambda)
=\lambda(\lambda-2)(-\lambda+3)$
Eguagliando a zero si ha appunto :
$\lambda_1=0,\lambda_2=2,\lambda_3=3$