Autovettori di una matrice

[mark930]

Salve,

la matrice è:

\[\large \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)\]

Devo verificare se i seguenti autovettori sono autovettori della matrice A:

$v1 = ( 2, 0, -1)\
v2 = ( 1, 0, -1)\
v3 = ( 1, 0, 1)$

Io ho calcolato gli autovalori e mi escono

$0, 1, -1 $

Ma a me non risulta che quei vettori sono degli autovettori, invece sul libro risulta di sì, ha sbagliato il libro?

[dissonance]

Perché hai calcolato gli autovalori? Dovevi solo verificare una cosa. Lo hai fatto e hai trovato che la cosa non è vera. Fine.

[mark930]

L'ho fatto perchè mi sembrava strano che il libro aveva sbagliato, quindi per controllare meglio.

[dissonance]

Ma non ha sbagliato. Ti ha fatto una domanda: "è vero o è falso che questi sono autovettori"? La risposta giusta era "falso", come hai trovato correttamente.

E' per controllare che tu abbia capito la definizione di "autovettore". Comunque, cambia poco, fare qualche conto in più non fa mai male.

[mark930]

Nelle soluzioni del libro c'è scritto che sono autovettori.

Ok, quindi una volta che ho trovato gli autovalori e gli autovettori come faccio a diagonalizzare la matrice?

[giampazero]

Devi controllare che la moltiplicità algebrica sia uguale a quella geometrica.
Siccome tu hai trovato 3 autovalori distinti la cui moltiplicità algebrica e' uguale ad 1 allora e' diagonalizzabile perchè

$1<=MG(lambda)<=MA(lambda)$ dove lambda e' un autovalore

quindi la matrice associata sarà $D=((lamda1,0,0),(0,lamda2,0),(0,0,lambda3))$ ( ho messo sulla diagonale gli autovalori)


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Potevi arrivandoci anche calcolando gli autovettori e poi gli autospazi direttamente dalla matrice in modo da creare tramite gli autospazi una matrice P che potesse diagonalizzare tale che $P^(-1) A P = D$

[mark930]

grazie, chiarissimo.