Autovettori corrispondenti ad autovalori coincidenti

[Speedyiii]

Ciao a tutti,

ho un dubbio riguardante la molteplicità degli autovalori. Sappiamo che ad autovalori distinti corrispondono autovettori linearmente indipendenti, ma se una matrice ha 2 autovalori coincidenti, è ancora possibile trovare 2 vettori linearmente indipendenti che corrispondono allo stesso autovalore?

Cercando su internet mi pare di aver capito che ad un autovettore con molteplicità algebrica 2 corrisponde un autospazio di dimensione 2, il che risponderebbe affermativamente a quanto scritto sopra. D'altra parte, ho letto altrove che questo accade soltanto in determinate condizioni. Qualcuno sa dirmi quali?

Grazie in anticipo agli eventuali soccorritori

[solaàl]

è ancora possibile trovare 2 vettori linearmente indipendenti che corrispondono allo stesso autovalore?

In generale no, non è possibile; siccome non è possibile, ti inventi la riduzione in forma triangolare, o jordanizzazione. Qualsiasi libro di algebra lineare ti venga tirato in testa contiene queste informazioni. Dopo la botta, leggilo e certamente troverai tutto quello che ti serve.

[gugo82]

"GN00Fu":Sappiamo che ad autovalori distinti corrispondono autovettori linearmente indipendenti, ma se una matrice ha 2 autovalori coincidenti, è ancora possibile trovare 2 vettori linearmente indipendenti che corrispondono allo stesso autovalore?

No, in generale.
La molteplicità algebrica non indica questa possibilità.

Ad esempio, la matrice $((0,1),(0,0))$ ha come unico autovalore doppio lo $0$, ma l’autospazio corrispondente ha dimensione $1$ quindi non puoi trovare due autovettori indipendenti.[nota]In generale, ogni blocchetto $2xx2$ del tipo $((alpha, 1),(0,alpha))$ ha $alpha$ come autovalore doppio, ma non è possibile determinare due autovettori indipendenti ad esso associati. Più in generale ancora, ogni matrice bidiagonale che ha tutti $alpha$ sulla diagonale principale e tutti $1$ sulla diagonale subito al di sopra della principale (tipo $((alpha, 1, 0,0),(0,alpha, 1,0),(0,0,alpha,1),(0,0,0,alpha))$) ha $alpha$ come unico autovalore di molteplicità massima, ma con autospazio associato di una dimensione più piccola. Blocchetti di questo tipo si chiamano blocchi di Jordan.[/nota]

"GN00Fu":Cercando su internet mi pare di aver capito che ad un autovettore con molteplicità algebrica 2 corrisponde un autospazio di dimensione 2, il che risponderebbe affermativamente a quanto scritto sopra. D'altra parte, ho letto altrove che questo accade soltanto in determinate condizioni. Qualcuno sa dirmi quali?

Quando la molteplicità algebrica di un autovalore uguaglia la sua molteplicità geometrica, i.e. la dimensione dell’autospazio ad esso associato.

[Speedyiii]

Grazie mille a tutti per le risposte, mi dispiace fosse così ovvio. La prossima volta provo prima a trovare qualche controesempio semplice.