Autovettori associati a autovalori complessi

[deltazeta]

Salve, devo calcolare gli autovettori associati agli autovalori di una matrice 3x3
la matrice è la seguente $ [ ( -1 , 4 , 2 ),( 0 , -1 , 0 ),( -1 , -2 , -3 ) ] $
gli autovalori sono:
$ lamda_1 = -1 $
$ lamda_(2,3)=-2+- j $
l'autovettore associa all'autovalore reale è:
$ u_1 = ( ( -2 ),( -1),( 2 ) ) $
per calcolare gli autovettori associati agli autovalori complessi ho usato
$ (A-(-2+j)I)( ( a ),( b ),( c ) ) = ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
ottengo
$ a = (-1+j)c $
$ b=0 $
$ 0=0 $
quindi assegno un parametro a c
$ c=tin C $
ma il risultato è sbagliato.
potrei fare
$ ( ( 1-j , 4 , 2 ),( 0 , 1-j , 0 ),( -1 , -2 , -1-j ) )( ( a+jd ),( b+je ),( c+jf ) ) = 0 $
ma mi dovrei calcolare 6 equazioni in 6 incognite, vorrei trovare se possibile un metodo più veloce
Grazie in anticipo per qualsiasi suggerimento

[Magma1]

Ammesso che la tua riduzione per righe sia giusta, ottieni

$ ( ( 1 , 0 , -(-1+j) ),( 0 , 1 ,0 ),( 0 , 0 , 0 ) )( ( a ),( b ),( c ) ) = ((0),(0),(0)) $

Quindi hai un sistema di due righe e tre incognite che, quindi, ha $oo^1$ soluzioni dipendenti dall'incognita $c$

${ ( a=(-1+j)c ),( b=0 ),(c in RR):}$ la cui soluzione è il vettore colonna $(((-1+j)c),(0),(c))=c(((-1+j)),(0),(1))$

[dissonance]

@Magma: mi pare che tu abbia ottenuto esattamente lo stesso risultato dell'OP. @deltazeta: Perché dici "è sbagliato" così categoricamente? Fai una prova: calcola
\[
A\begin{bmatrix} -1+j \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} \]
e verifica che ottieni \((-2+j)\begin{bmatrix} -1 + j \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}\). Se ottieni questo il risultato è giusto. Altrimenti è sbagliato.

[Magma1]

"dissonance":@Magma: mi pare che tu abbia ottenuto esattamente lo stesso risultato dell'OP.

Non lessi che già sapeva che il risultato fosse sbagliato

Quindi l'unico errore lo avrà commesso nella riduzione della matrice dei coefficienti. Lo scopo del mio intervento era fargli notare che non c'è bisogno di usare come vettore colonna delle incognite $( ( a+jd ),( b+je ),( c+jf ) ) $.

@dissonance: mancherebbe "$1$" come terza componente dell'autovettore

[dissonance]

Giusto, mi sono mangiato un $1$. Il punto del mio intervento è: siamo sicuri che è sbagliato? È facile verificare: basta fare il prodotto che dicevo sopra. Se uno lo facesse PRIMA di andarsi a mangiare la testa sul procedimento di risoluzione si accorgerebbe che
\[
\begin{bmatrix} -1 + j \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]
*è* un autovettore della matrice data, ma corrisponde all'autovalore \(-2-j\) invece che a \(-2+j\). Quindi per trovare un autovettore relativo a \(-2+j\) basta coniugare:
\[
\begin{bmatrix} -1 - j \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]
Fine.

Morale della favola: Come siano stati trovati gli autovettori non importa, l'unica cosa importante è che verifichino l'identità \(Ax=\lambda x\).