Autovettori applicazione lineare
La domanda è:
Vettori non nulli del nucleo di f, dove f è un endomorfismo sono autovettori di f?
Dalla definizione di autovettore, io direi che l’affermazione è falsa, in quanto un autovettore è un cettore non nullo tale che $f(v)=lambda (v)$.
Autovettori sono vettori non nulli del nucleo di $A- lambda I$, cin A matrice associata a f.
È corretto?
Vettori non nulli del nucleo di f, dove f è un endomorfismo sono autovettori di f?
Dalla definizione di autovettore, io direi che l’affermazione è falsa, in quanto un autovettore è un cettore non nullo tale che $f(v)=lambda (v)$.
Autovettori sono vettori non nulli del nucleo di $A- lambda I$, cin A matrice associata a f.
È corretto?
Risposte
"AndretopC0707":
È corretto?
No.
Immagino la domanda sia dato un'endomorfismo f, la cui matrice rappresentativa F di dimensione nxn ha un nucleo tale che $dim ker(F)=k$ con $0
La risposta è ovviamente si, esiste almeno 1 autovettore associato all'autovalore 0.
Esempi: tutte le matrici di proiezione (ortogonale o meno) hanno esattamente k autovettori (perchè sono diagonalizzabili).
Riporto immagine del tema d’esame.
Hai ragione bokonon, la domanda è un po’ strana, ma è quella. Ti sembra corretta la mia risposta?
"AndretopC0707":
Ti sembra corretta la mia risposta?
Ti ho scritto di [size=150]no[/size] (stavolta non può sfuggirti
).Ti ho dato la risposta (generale) e poi un esempio (particolare)...e senza nemmeno risolvere il problema che hai postato, posso dirti che quella matrice è proprio una matrice di proiezione perpendicolare.
Ma la domanda non è quella che mi hai scritto tu.
Inoltre, il punto a non richiede di guardare il punto b, non bisogna considerare la matrice scritta sotto.
Non è richiesto che nucleo abbia dimensione maggiore di 0, se la matrice ha determinante 0, è chiaramente falsa la prima domanda, non capisco perché dici che è sì la risposta.
Inoltre, il punto a non richiede di guardare il punto b, non bisogna considerare la matrice scritta sotto.
Non è richiesto che nucleo abbia dimensione maggiore di 0, se la matrice ha determinante 0, è chiaramente falsa la prima domanda, non capisco perché dici che è sì la risposta.
A parte che la domanda poi specifica di quale matrice si tratta...ma rispondiamo solo a:
I vettori non nulli del nucleo di f sono autovettori di f?
Posta così parrebbe piuttosto ambigua...ma dice vettori non nulli del nucleo quindi se f è biettiva la questione non avrebbe senso perchè non ce ne sarebbe nessuno. Pertanto dobbiamo assumere che la dimensione del kernel sia maggiore di zero.
Ci siamo fino a qua?
La risposta è [size=200]SI[/size], ci sono vettori non nulli del nucleo di f che sono autovettori di f.
Non sappiamo quanti (perchè non conosciamo la molteplicità geometrica) ma almeno uno c'è.
Più avanti scoprirai che a fronte di una molteplicità algebrica uguale a $k$ è possibile trovare esattamente $k$ autovettori generalizzati.
I vettori non nulli del nucleo di f sono autovettori di f?
Posta così parrebbe piuttosto ambigua...ma dice vettori non nulli del nucleo quindi se f è biettiva la questione non avrebbe senso perchè non ce ne sarebbe nessuno. Pertanto dobbiamo assumere che la dimensione del kernel sia maggiore di zero.
Ci siamo fino a qua?
La risposta è [size=200]SI[/size], ci sono vettori non nulli del nucleo di f che sono autovettori di f.
Non sappiamo quanti (perchè non conosciamo la molteplicità geometrica) ma almeno uno c'è.
Più avanti scoprirai che a fronte di una molteplicità algebrica uguale a $k$ è possibile trovare esattamente $k$ autovettori generalizzati.
Ok, chiaro, Grazie mille, allora sicuramente ho che se $f$ è non iniettiva, essa ammette come autovalore 0, quindi esiste almeno un autovettore del nucleo di $f$ che è autovettore di $f$. Scusami, ma ho scoperto solo ora che se l’endomorfismo non è iniettivo, ha come autovalore 0.
Per quanto riguarda il punto d poSso procedere così:
calcolo la base di Im f e verifico che si tratta di autovettori, o posso rispondere senza fare calcoli, dalla teoria?
Per quanto riguarda il punto d poSso procedere così:
calcolo la base di Im f e verifico che si tratta di autovettori, o posso rispondere senza fare calcoli, dalla teoria?
"AndretopC0707":
Scusami, ma ho scoperto solo ora che se l’endomorfismo non è iniettivo, ha come autovalore 0.
Per forza di cose...
Anche partendo dalla definizione ci si arriva per logica.
Cerchiamo dei vettori $v$ tali che $Fv=lambdav$
Quindi $(F-lambdaI)v=0$
Tradotto, il vettore v deve appartenere al kernel di $(F-lambdaI)$
Pertanto cerchiamo dei valori di $lambda$ che rendano $(F-lambdaI)$ una matrice singolare (=non iniettiva).
Se già di per se la matrice F è singolare allora è evidente che essa stessa è un candidato e basta porre $lambda=0$ per trovare soluzioni (non banali) al sistema omogeneo. No?
In generale, qualsiasi matrice quadrata singolare ha un polinomio caratteristico del tipo $lambda^k*(blah blah blah)=0$ quindi $lambda=0$ è sempre una soluzione.
"AndretopC0707":
Per quanto riguarda il punto d poSso procedere così:
calcolo la base di Im f e verifico che si tratta di autovettori, o posso rispondere senza fare calcoli, dalla teoria?
Avrai già determinato la matrice F e avrai notato che è simmetrica, pertanto diagonalizzabile.
Dal tipo di esercizio, immagino (non l'ho risolto! vado per logica intuitiva) che tu abbia scoperto che la matrice è singolare e che gli autovalori sono tutti $0$ o $1$.
Ora, in una matrice simmetrica, righe e colonne sono identiche, pertanto lo spazio delle righe (che è perpendicolare al kernel) è identico allo spazio delle colonne (=l'immagine), per cui $Im(f)$ è perpendicolare a $ker(f)$
Guarda caso, gli autospazi di una matrice simmetrica sono perpendicolari, quindi ci stupisce che l'immagine sia identica all'autospazio legato all'autovalore 1 mentre il kernel è l'autospazio legato all'autovalore 0?
Ti ho dato una visione geometrica e logica, adesso metti assieme i pezzi e usa la teoria.
Ok grazie mille, non ho ben capito l’ultimo passaggio, in che senso l’immagine è identica all’autospazio dell’autovalore 1 e il nucleo a quello dell’autovalore 0?
[xdom="gugo82"]Ancora con le immagini?[/xdom]
Scusa Gugo, ma non c’era altro modo per dimostrare che la domanda era quella
Guarda caso, gli autospazi di una matrice simmetrica sono perpendicolari, quindi ci stupisce che l'immagine sia identica all'autospazio legato all'autovalore 1 mentre il kernel è l'autospazio legato all'autovalore 0?
Cosa significa?
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