Autovettore, autovalore, autospazio e diagonalizzabile (definizioni "strane")
Salve sto studiando questo argomento però sia sul libro che su internet trovo definizioni diverse e/o complicate.
"scrivere la definizione di autovettore e di autovalore di una matrice reale quadrata e dire cosa significa che A è diagonalizzabile"
Io risponderei cosi:
autovettore: un vettore non nullo che non cambia direzione nella trasformazione (trovata su internet ma non mi è per nulla chiara)
autovalore: è uno scalare ad esempio lambda. (troppo banale come risposta)?
Autospazio: è il sottospazio generato da tutti gli autovettori aventi in comune lo stesso autovalore. ???
Diagonalizzazione:se esiste una matrice P invertibile tale che P^-1 AP sia diagonale.
oppure: è diag. se la molteplicità geometrica e la molteplicità algebrica sono uguali? (banale questa)?
Ho girato molto però ho preferito chiedere a voi che sicuramente saprete chiarirmi questi dubbi e dare definizioni e risposte chiari e semplici.
PS: come si calcolano autovalori e autospazi dopo aver stabilito che la matrice è diagonalizzabile? (io di solito scrivo il sistema associato dopo aver sostituito l'autovalore a "-lambda" nella matrice di partenza. poi mi perdo per strada)
grazie a tutti
"scrivere la definizione di autovettore e di autovalore di una matrice reale quadrata e dire cosa significa che A è diagonalizzabile"
Io risponderei cosi:
autovettore: un vettore non nullo che non cambia direzione nella trasformazione (trovata su internet ma non mi è per nulla chiara)
autovalore: è uno scalare ad esempio lambda. (troppo banale come risposta)?
Autospazio: è il sottospazio generato da tutti gli autovettori aventi in comune lo stesso autovalore. ???
Diagonalizzazione:se esiste una matrice P invertibile tale che P^-1 AP sia diagonale.
oppure: è diag. se la molteplicità geometrica e la molteplicità algebrica sono uguali? (banale questa)?
Ho girato molto però ho preferito chiedere a voi che sicuramente saprete chiarirmi questi dubbi e dare definizioni e risposte chiari e semplici.
PS: come si calcolano autovalori e autospazi dopo aver stabilito che la matrice è diagonalizzabile? (io di solito scrivo il sistema associato dopo aver sostituito l'autovalore a "-lambda" nella matrice di partenza. poi mi perdo per strada)
grazie a tutti
Risposte
Allora, partiamo dalle basi.
Sia V un K-spazio vettoriale, andiamo a definire un endomorfismo su V, ovvero
$ f: V rarr V $
Quest' applicazione lineare sarà definita da un'opportuna legge, o se vogliamo, da una particolare matrice associata a due basi di V.
Adesso andiamo a considerare fra tutti gli elementi dell'immagine solo quelli tali che:
$ f(v) = lambda v $
Questo cosa significa ? Significa che stiamo andando a cercare quei particolari vettori la cui immagine è un vettore proporzionale (o parallelo, se preferisci un'interpretazione geometrica.).
Chiamiamo questi particolari vettori, autovettori (perdona la ridondanza), e i coefficenti di proporzionalità $ lambda $ autovalori.
Per come abbiamo definito la restrizione dell'immagine, ci saranno diversi vettori la cui immagine sarà proporzionale al vettore stesso di un fattore $ lambda $.
Ti faccio un esempio.
Considerando sempre valide le premesse precedenti consideriamo fra tutti gli elementi dell'immagine di f, gli elementi tali che:
$ f(v)= 2v $
Sarai d'accordo che esistono diversi vettori dell'immagine che soddisfano questa proprietà, quindi classifichiamo l'insieme di questi autovettori in base al coefficente di proporzionalità, in questo caso 2.
Nasce quindi il concetto di autospazio, ovvero il sottospazio di tutti gli autovettori relativi all'autovalore $lambda$.
Sia V un K-spazio vettoriale, andiamo a definire un endomorfismo su V, ovvero
$ f: V rarr V $
Quest' applicazione lineare sarà definita da un'opportuna legge, o se vogliamo, da una particolare matrice associata a due basi di V.
Adesso andiamo a considerare fra tutti gli elementi dell'immagine solo quelli tali che:
$ f(v) = lambda v $
Questo cosa significa ? Significa che stiamo andando a cercare quei particolari vettori la cui immagine è un vettore proporzionale (o parallelo, se preferisci un'interpretazione geometrica.).
Chiamiamo questi particolari vettori, autovettori (perdona la ridondanza), e i coefficenti di proporzionalità $ lambda $ autovalori.
Per come abbiamo definito la restrizione dell'immagine, ci saranno diversi vettori la cui immagine sarà proporzionale al vettore stesso di un fattore $ lambda $.
Ti faccio un esempio.
Considerando sempre valide le premesse precedenti consideriamo fra tutti gli elementi dell'immagine di f, gli elementi tali che:
$ f(v)= 2v $
Sarai d'accordo che esistono diversi vettori dell'immagine che soddisfano questa proprietà, quindi classifichiamo l'insieme di questi autovettori in base al coefficente di proporzionalità, in questo caso 2.
Nasce quindi il concetto di autospazio, ovvero il sottospazio di tutti gli autovettori relativi all'autovalore $lambda$.
Spero ti sia chiaro che ad ogni applicazione lineare si può associare una matrice rispetto a una base dello spazio "di partenza" e a una base dello spazio "di arrivo".
Chiamata A questa matrice vale che :
$ f(v)= Av $
Da cui segue la logica estensione del discorso.
Fai attenzione che stavolta si sta parlando di tutta l'immagine, e non di particolari elementi
Chiamata A questa matrice vale che :
$ f(v)= Av $
Da cui segue la logica estensione del discorso.
Fai attenzione che stavolta si sta parlando di tutta l'immagine, e non di particolari elementi
Ora andiamo a stabilire quando una matrice è diagonalizzabile.
Oltre alla definizione che hai dato, possiamo anche dire una matrice A è diagonalizzabile se l'endomorfismo che definisce è semplice, o in parole più povere se valgono i seguenti fatti.
1. La matrice ha n autovalori distinti, dove n è l'ordine della matrice quadrata considerata.
In questa casistica possiamo sicuramente dire che A è diagonalizzabile.
2. Se invece abbiamo fra questi autovalori alcuni che sono uguali fra loro NON possiamo dire che la matrice
non è diagonalizzabile, ma dobbiamo fare un'ulteriore verifica.
Definiamo la molteplicità algebrica relativa ad un autovalore il numero di volte con cui l'autovalore si ripete.
Dobbiamo quindi valutare la dimensione dell'autospazio associato all'autovalore, se questa dimensione è pari
alla molteplicità algebrica, allora la matrice è diagonalizzabile, se no, no.
Oltre alla definizione che hai dato, possiamo anche dire una matrice A è diagonalizzabile se l'endomorfismo che definisce è semplice, o in parole più povere se valgono i seguenti fatti.
1. La matrice ha n autovalori distinti, dove n è l'ordine della matrice quadrata considerata.
In questa casistica possiamo sicuramente dire che A è diagonalizzabile.
2. Se invece abbiamo fra questi autovalori alcuni che sono uguali fra loro NON possiamo dire che la matrice
non è diagonalizzabile, ma dobbiamo fare un'ulteriore verifica.
Definiamo la molteplicità algebrica relativa ad un autovalore il numero di volte con cui l'autovalore si ripete.
Dobbiamo quindi valutare la dimensione dell'autospazio associato all'autovalore, se questa dimensione è pari
alla molteplicità algebrica, allora la matrice è diagonalizzabile, se no, no.
Ormai che ci sono, scrivo un metodo pratico per la diagonalizzazione di una matrice.
Consideriamo la matrice A che si vuole diagonalizzare.
Calcoliamo gli autovalori trovando le radici del polinomio caratteristico, definito come
$ det (A - Ilambda) = 0 $
Una volta calcolate queste radici, vediamo se sono distinte, in tal caso A è diagonalizzabile.
Se non è cosi' verifichiamo che la molteplicità algebrica sia pari a quella geometrica (ricorda che si sta parlando sempre in relazione ad un particolare autovalore)
Per determinare la dimensione di un autospazio relativo ad un autovalore si sostituisce l'autovalore che scegliamo nella matrice $A-Ilambda$ e si calcola il rango.
La dimensione dell'autospazio sarà $n-rank(A-Ilambda)$ dove n è l'ordine della matrice quadrata in questione (il procedimento è giustificato dal fatto che l'autospazio è il nucleo dell'applicazione lineare associata alla matrice $A-Ilambda$)
Per trovare una base di questo autospazio, bisogna risolvere il sistema lineare
$ (A-Ilambda)X= 0 $
Con X si intende il vettore delle variabili
Trovate queste basi le metti in colonna in una matrice, quella matrice è la matrice diagonalizzante P, mentre la matrice diagonale D ha come elementi della diagonale gli autovalori.
E' importante rispettare l'ordine nella costruzione.
Se come prima colonna scegli la base dell'autospazio associato al primo autovalore, devi necessariamente mettere come primo elemento della matrice diagonale il primo autovalore.
Spero di esserti stato utile.
Consideriamo la matrice A che si vuole diagonalizzare.
Calcoliamo gli autovalori trovando le radici del polinomio caratteristico, definito come
$ det (A - Ilambda) = 0 $
Una volta calcolate queste radici, vediamo se sono distinte, in tal caso A è diagonalizzabile.
Se non è cosi' verifichiamo che la molteplicità algebrica sia pari a quella geometrica (ricorda che si sta parlando sempre in relazione ad un particolare autovalore)
Per determinare la dimensione di un autospazio relativo ad un autovalore si sostituisce l'autovalore che scegliamo nella matrice $A-Ilambda$ e si calcola il rango.
La dimensione dell'autospazio sarà $n-rank(A-Ilambda)$ dove n è l'ordine della matrice quadrata in questione (il procedimento è giustificato dal fatto che l'autospazio è il nucleo dell'applicazione lineare associata alla matrice $A-Ilambda$)
Per trovare una base di questo autospazio, bisogna risolvere il sistema lineare
$ (A-Ilambda)X= 0 $
Con X si intende il vettore delle variabili
Trovate queste basi le metti in colonna in una matrice, quella matrice è la matrice diagonalizzante P, mentre la matrice diagonale D ha come elementi della diagonale gli autovalori.
E' importante rispettare l'ordine nella costruzione.
Se come prima colonna scegli la base dell'autospazio associato al primo autovalore, devi necessariamente mettere come primo elemento della matrice diagonale il primo autovalore.
Spero di esserti stato utile.
perfetto, utilissimo, esaustivo e preciso!!!!
Grazie infinite. proprio ora stavo facendo degli esercizi per trovare una base del ker dopo aver visto la diagonalizzabilità.
Grazie ancora!!!
Grazie infinite. proprio ora stavo facendo degli esercizi per trovare una base del ker dopo aver visto la diagonalizzabilità.
Grazie ancora!!!
Salve OmegaX,
preciso soltanto, e nulla tolgo al tuo commento, che \( v \neq 0_V \)... e quindi lo scalare \( \lambda \) è unico e dicesi "autovalore"
Cordiali saluti
"OmegaX":
A
Adesso andiamo a considerare fra tutti gli elementi dell'immagine solo quelli tali che:
$ f(v) = lambda v $
Questo cosa significa ? Significa che stiamo andando a cercare quei particolari vettori la cui immagine è un vettore proporzionale (o parallelo, se preferisci un'interpretazione geometrica.).
Chiamiamo questi particolari vettori, autovettori (perdona la ridondanza), e i coefficenti di proporzionalità $ lambda $ autovalori.
Per come abbiamo definito la restrizione dell'immagine, ci saranno diversi vettori la cui immagine sarà proporzionale al vettore stesso di un fattore $ lambda $.
preciso soltanto, e nulla tolgo al tuo commento, che \( v \neq 0_V \)... e quindi lo scalare \( \lambda \) è unico e dicesi "autovalore"
Cordiali saluti
ho una piccola domanda/dubbio sulla diagonalizzazione
ho questa matrice
$ ((3,2,0),(2,3,0),(0,0,1)) $
calcolare autovalori autospazi.
dire giustificando la rispsota se è diagonalizzabile.
mi trovo gli autovalori
$ | A - lambda I | = 0 $
$ lambda = 1 ; lambda = ± 1$
per $ lambda = 1 $ la molteplicità algebrica è 1 ergo anche la geometrica è 1 (quindi è diagonalizzabile)
per $ lambda = -1 $ vado a sostituire alla matrice $ | A - lambda I | = 0 $
l'autovalore $ -1 $ e ottengo la matrice
$ ((4,2,0),(2,4,0),(0,0,2)) $ che ha RANGO 3
molteplicità geometrica = $ dim - rango $ quindi $ 3 -3 = 0 $
è possibile che venga zero? cosa significa? che quindi la matrice non è diagonalizzabile poichè non esiste nessuna matrice tale che $ P^-1 $ sia diagonale ? cioè che le due molteplicità sono diverse?
gli autospazi posso scriverli? come?
grazie
ho questa matrice
$ ((3,2,0),(2,3,0),(0,0,1)) $
calcolare autovalori autospazi.
dire giustificando la rispsota se è diagonalizzabile.
mi trovo gli autovalori
$ | A - lambda I | = 0 $
$ lambda = 1 ; lambda = ± 1$
per $ lambda = 1 $ la molteplicità algebrica è 1 ergo anche la geometrica è 1 (quindi è diagonalizzabile)
per $ lambda = -1 $ vado a sostituire alla matrice $ | A - lambda I | = 0 $
l'autovalore $ -1 $ e ottengo la matrice
$ ((4,2,0),(2,4,0),(0,0,2)) $ che ha RANGO 3
molteplicità geometrica = $ dim - rango $ quindi $ 3 -3 = 0 $
è possibile che venga zero? cosa significa? che quindi la matrice non è diagonalizzabile poichè non esiste nessuna matrice tale che $ P^-1 $ sia diagonale ? cioè che le due molteplicità sono diverse?
gli autospazi posso scriverli? come?
grazie
"garnak.olegovitc":
preciso soltanto, e nulla tolgo al tuo commento, che \( v \neq 0_V \)... e quindi lo scalare \( \lambda \) è unico e dicesi "autovalore"
In realtà lo davo per scontato, in quanto, per definizione, la direzione del vettore nullo è indeterminata, non ha quindi senso definire vettori ad esso paralleli o proporzionali.
Comunque hai perfettamente ragione, sarebbe stato meglio specificarlo.
Caro Sal89, purtroppo hai sbagliato il calcolo degli autovalori.
Gli autovalori sono
$ lambda_1 = 5 $ con molteplicità algebrica 1
$ lambda_2 = 1 $ con molteplicità algebrica 2
Rifai i calcoli e ritrai delle conseguenze.
Inoltre stai attento alla terminologia, puoi dire che una matrice è diagonalizzabile solamente quando hai finito l'analisi di tutti gli autovalori, non prima.
Gli autovalori sono
$ lambda_1 = 5 $ con molteplicità algebrica 1
$ lambda_2 = 1 $ con molteplicità algebrica 2
Rifai i calcoli e ritrai delle conseguenze.
Inoltre stai attento alla terminologia, puoi dire che una matrice è diagonalizzabile solamente quando hai finito l'analisi di tutti gli autovalori, non prima.
$ ((3,2,0),(2,3,0),(0,0,1)) $
io mi trovo cosi
$ 1 - lambda |(3-lambda,2),(2,3-lambda)|$
$ (1-lambda) ( 3-lambda)^2 -4 $ $=$
$(1-lambda) = lambda= 1 $
l'altro membro come va calcolato? devo sviluppare il quadrato di binomio e calcolarmi le soluzioni? (puoi spiegarmi il passaggio?) :S (crisi pre esame)
l'autospazio poi come lo scrivo?
grazie mille
io mi trovo cosi
$ 1 - lambda |(3-lambda,2),(2,3-lambda)|$
$ (1-lambda) ( 3-lambda)^2 -4 $ $=$
$(1-lambda) = lambda= 1 $
l'altro membro come va calcolato? devo sviluppare il quadrato di binomio e calcolarmi le soluzioni? (puoi spiegarmi il passaggio?) :S (crisi pre esame)
l'autospazio poi come lo scrivo?
grazie mille
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