Autovettore
Sia F l’endomorfismo :
F(x,y,z,t)=(x+y-z,y+z+t,2z+2t,z+t)
Dire quali dei seguenti vettori sono autovettori
• (1,0,0,0)
• (0,1,0,0)
• (1,0,1,-1)
• (1,1,0,0))
come si vede quali sono
grazie
F(x,y,z,t)=(x+y-z,y+z+t,2z+2t,z+t)
Dire quali dei seguenti vettori sono autovettori
• (1,0,0,0)
• (0,1,0,0)
• (1,0,1,-1)
• (1,1,0,0))
come si vede quali sono
grazie
Risposte
Si usa la definizione di autovettore.
Sia $A$ una applicazione lineare chiamiamo autovettore $a$ di autovalore $lambda$ ogni elemento dello spazio sui cui elementi opera l'applicazione tale per cui $Aa=lambdaa$.
Per ogni autovalore ci sono infiniti autovettori, perchè se $a$ è autovettore anche $ca$ è autovettore, per ogni $c$ appartenente a $CC$. Lo spazio degli autovettori di autovalore $lambda$ è detto autospazio ed è il $ker(A-lambdaI)$.
Se vuoi verificare se un certo vettore $a$ è autovettore di $F$ ti calcoli $Fa$ e guardi se è proporzionale ad $a$ stesso.
Ad esempio così ad occhio mi sembra che il primo della lista lo sia.
Sia $A$ una applicazione lineare chiamiamo autovettore $a$ di autovalore $lambda$ ogni elemento dello spazio sui cui elementi opera l'applicazione tale per cui $Aa=lambdaa$.
Per ogni autovalore ci sono infiniti autovettori, perchè se $a$ è autovettore anche $ca$ è autovettore, per ogni $c$ appartenente a $CC$. Lo spazio degli autovettori di autovalore $lambda$ è detto autospazio ed è il $ker(A-lambdaI)$.
Se vuoi verificare se un certo vettore $a$ è autovettore di $F$ ti calcoli $Fa$ e guardi se è proporzionale ad $a$ stesso.
Ad esempio così ad occhio mi sembra che il primo della lista lo sia.
scusa ho capito teoicamente che intendi,ma il procedimento no..potresti scriverlo e verificare effettivamente quali sono gli autovettori?
grazie
grazie
Guarda senza fare un solo calcolo ti dico che $(1,0,0,0)$ è autovettore perché
la $x$ appare solo nella prima componente.
Francesco Daddi
la $x$ appare solo nella prima componente.
Francesco Daddi
E ancora senza fare calcoli, ti dico che $(0,1,0,0)$ non può essere autovettore perché
la $y$ appare nella seconda componente della funzione, ma anche nella prima.
Per gli altri autovettori basta che tu applichi la matrice al vettore stesso.
Francesco Daddi
la $y$ appare nella seconda componente della funzione, ma anche nella prima.
Per gli altri autovettori basta che tu applichi la matrice al vettore stesso.
Francesco Daddi
io farei così:
trovi tutti gli autovalori dell'endomorfismo, poi vedi quali di qesti vettori snono proporzionali ai vettori di partenza...
P.s. anke a me sebra che il primo lo sia, e ha come autovalore $lambda=1$
trovi tutti gli autovalori dell'endomorfismo, poi vedi quali di qesti vettori snono proporzionali ai vettori di partenza...
P.s. anke a me sebra che il primo lo sia, e ha come autovalore $lambda=1$
Il vettore $(1,0,1,-1)$ appartiene al nucleo dell'endomorfismo, quindi è autovettore
relativo all'autovalore $lambda=0$.
Il vettore $(1,1,0,0)$ non è autovettore perché la sua immagine è il vettore $(2,1,0,0)$;
il motivo sta nel fatto che non esiste $lambda$ tale che:
$(2,1,0,0) = lambda (1,1,0,0)$
Francesco Daddi
relativo all'autovalore $lambda=0$.
Il vettore $(1,1,0,0)$ non è autovettore perché la sua immagine è il vettore $(2,1,0,0)$;
il motivo sta nel fatto che non esiste $lambda$ tale che:
$(2,1,0,0) = lambda (1,1,0,0)$
Francesco Daddi
"Domè89":
io farei così:
trovi tutti gli autovalori dell'endomorfismo, poi vedi quali di qesti vettori snono proporzionali ai vettori di partenza...
P.s. anke a me sebra che il primo lo sia, e ha come autovalore $lambda=1$
Ma è ovvio!
Ricordate che le colonne di una matrice sono le immagini della base canonica.
Spesso la gente crede che questa cosa sia una "furbata", ma in realtà è la definizione
stessa di matrice!
Francesco Daddi
Sai che questa definizione non l'avevo mai sentita?
Al corso di algebra la matrice $mxn$ ci fu definita come una tabella a doppia entrata, come una applicazione da $CC$ in $CC^nxCC^m$.
Potresti formalizzare meglio la tua definizione? mi interessa moltoo.
Grazie
Giovanni
Al corso di algebra la matrice $mxn$ ci fu definita come una tabella a doppia entrata, come una applicazione da $CC$ in $CC^nxCC^m$.
Potresti formalizzare meglio la tua definizione? mi interessa moltoo.
Grazie
Giovanni
"GIOVANNI IL CHIMICO":
Sai che questa definizione non l'avevo mai sentita?
Al corso di algebra la matrice $mxn$ ci fu definita come una tabella a doppia entrata, come una applicazione da $CC$ in $CC^nxCC^m$.
Potresti formalizzare meglio la tua definizione? mi interessa moltoo.
Grazie
Giovanni
Scusa, come non avevi mai sentito niente del genere? Non è possibile..
Allora, prendi la matrice:
$((2,4),(1,-7))$
il vettore $e_1=(1,0)$ va a finire nel vettore le cui coordinate sono $(2,1)$;
il vettore $e_2=(0,1)$ va a finire nel vettore le cui coordinate sono $(4,-7)$.
Nel caso in cui hai una matrice:
$((2,0),(-4,3))$
hai che $e_2$ è autovettore, con autovalore $lambda=3$.
Senza fare calcoli, e che li fai a fare?
Francesco Daddi
Ah, ho capito, era più semplice di quanto pensassi.
No, non l'avevo mai visto, e poi il corso di algebra è stato il primo esame che ho fatto ed ero ancora imberbe e confuso.
Grazie
No, non l'avevo mai visto, e poi il corso di algebra è stato il primo esame che ho fatto ed ero ancora imberbe e confuso.
Grazie
Vedi, se facevi matematica lo sapevi di sicuro..
Francesco Daddi
Francesco Daddi
Questo è poco ma sicuro...
Ho comunque notato che non è un fatto risaputo; magari uno trova la forma di Jordan
di matrici mostruose, ma alla fine, dico io, sa che cosa ha fatto?
Credo che sapere cosa si stia facendo è la cosa veramente più importante;
non è la quantità, ma la qualità!
Anche il cambiamento di base è un altro di quei concetti "nebulosi";
mi ricordo che, al mio primo anno, molti ripetevano meccanicamente i passaggi
senza aver capito molto.. che tristezza.
Francesco Daddi
di matrici mostruose, ma alla fine, dico io, sa che cosa ha fatto?
Credo che sapere cosa si stia facendo è la cosa veramente più importante;
non è la quantità, ma la qualità!
Anche il cambiamento di base è un altro di quei concetti "nebulosi";
mi ricordo che, al mio primo anno, molti ripetevano meccanicamente i passaggi
senza aver capito molto.. che tristezza.
Francesco Daddi
Figurati cosa succede ad ingegneria....nella pratica molti maneggiano le derivate come se fossero divisioni tra differenziali, quindi fa te...
All'inizio del corso di analisi LS il professore ha dovuto rispiegare cos'era la matrice hessiana, da paura eh?
All'inizio del corso di analisi LS il professore ha dovuto rispiegare cos'era la matrice hessiana, da paura eh?
Visto che la tecnologia sarà imparentata con matematica sempre più complessa,
la situazione a mio avviso rischia di peggiorare.
Infatti, ci sarà sempre meno tempo per "imparare" gli argomenti matematici,
mentre servirà sempre più tempo per poterli comprendere per bene..
Francesco Daddi
la situazione a mio avviso rischia di peggiorare.
Infatti, ci sarà sempre meno tempo per "imparare" gli argomenti matematici,
mentre servirà sempre più tempo per poterli comprendere per bene..
Francesco Daddi
mi trovo perfettamente d'accordo con voi...
al corso di algebra, ci hanno spiegato il cambiamento di base, diagonalizzazione, autovalori, ecc....
ma per capirli serve tempo...
purtoppo avendo soltanto 60 ore in 2 mesi, che se si vuole fare tutto nn si può di certo pretendere la qualità, e questo mi dispiace...
P.s. non è che qualcuno sapreppe darmi delle delucidazioni un più sui cambiamenti di base??? ( a cosa servono ecc...)
al corso di algebra, ci hanno spiegato il cambiamento di base, diagonalizzazione, autovalori, ecc....
ma per capirli serve tempo...
purtoppo avendo soltanto 60 ore in 2 mesi, che se si vuole fare tutto nn si può di certo pretendere la qualità, e questo mi dispiace...
P.s. non è che qualcuno sapreppe darmi delle delucidazioni un più sui cambiamenti di base??? ( a cosa servono ecc...)
"Domè89":
mi trovo perfettamente d'accordo con voi...
al corso di algebra, ci hanno spiegato il cambiamento di base, diagonalizzazione, autovalori, ecc....
ma per capirli serve tempo...
purtoppo avendo soltanto 60 ore in 2 mesi, che se si vuole fare tutto nn si può di certo pretendere la qualità, e questo mi dispiace...
P.s. non è che qualcuno sapreppe darmi delle delucidazioni un più sui cambiamenti di base??? ( a cosa servono ecc...)
Non è facile spiegare in 2 righe i cambiamenti di base.
Ci provo con un esempio:
supponi di avere una trasformazione $f$ tale che
$f: (1,3) mapsto (2,6) = 2 cdot (1,3)$
$f: (-4,7) mapsto (12,-21) = -3 cdot (-4,7)$
E' comodo allora "pensare" la $f$ in quest'altra ottica:
ogni vettore lo scrivo come combinazione lineare dei due autovettori
$(1,3)$ e $(-4,7)$.
Ad esempio, se ho il vettore $(-7,17)$, esso si può scrivere così:
$(-7,17) = 1 cdot (1,3) + 2 cdot (-4,7)$
il vettore $(-7,17)$ ha le coordinate $(1,2)$ in questa nuova base.
Come sarà trasformato mediante $f$?
Nella base $(1,3)$, $(-4,7)$ il vettore viene mandato nel vettore:
$((2,0),(0,-3)) cdot ((1),(2)) = ((2),(-6))$
Cosa significa?
Significa che, per avere le coordinate nella base canonica, devo ricordarmi
che cos'è una coordinata:
$((2),(-6)) mapsto 2 cdot ((1),(3)) - 6 cdot ((-4),(7)) = ((26),(-36))$
In definitiva, il vettore $((-7),(17))$ va a finire nel vettore $((26),(-36))$.
[size=150]Osservazione:[/size] ho fatto tutto senza calcolarmi la matrice rispetto alla base canonica.
"franced":
...
[size=150]Osservazione:[/size] ho fatto tutto senza calcolarmi la matrice rispetto alla base canonica.
si, infatti me ne sono accorto e sono rimasto stupito!!!
grazie per le info!!! sono state utili (visto che devo dare algebra fra 5 giorni...)
P.s. complimenti per la tua ottima preparazione
"Domè89":
P.s. complimenti per la tua ottima preparazione
Bè, non esageriamo!
scusate,ma contnuate a fare spiegazioni a parole,ma io applicando quello che voi dite a "parole" mi trovo sempre cose diverse dalle vostre mi fareste il piacere di scrivere cio che fate tramite i numeri stessi,cosi che io possa confrontare i miei passaggi con i vostri...vene sarei grato. grazie(preso lunedi ho l'esame)
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