Autovalori non tutti distinti ma autovettori lin. indipend.

[TSUNAMI1]

data la matrice
$((1,-1,-1),(1,3,1),(-1,-1,1))$
determinare che pur non essendo gli autovalori tutti distinti, tale matrice possiede autovettori linearmente indipendenti.

gli autovalori sono $\lambda=1$ e $\lambda=2$ (con molteplicità doppia).

mi spiegate come trovare gli autovettori associati all'autovalore $\lambda=1$ ?

grazie

[TSUNAMI1]

sostituendo l'autovalore $\lambda=1$ nella matrice caratteristica ottengo la matrice:
$((0,-1,-1),(1,2,1),(-1,-1,0))$

ovvero devo risolvere il sistema
$\{( - y -z =0),(x+2y+ z = 0),(-x-y=0):}$

[franced]

Per l'autovalore di molteplicità algebrica = 1 trovi automaticamente un autospazio di dimensione = 1
(non c'è bisogno di verificarlo, è automatico!)

Per l'autovalore di molteplicità algebrica = 2 troverai (non ho fatto i calcoli, ma l'esercizio dice così)
un autospazio di dimensione = 2.

[TSUNAMI1]

"franced":Per l'autovalore di molteplicità algebrica = 1 trovi automaticamente un autospazio di dimensione = 1
(non c'è bisogno di verificarlo, è automatico!).

si ok, infinite soluzioni che dipendono da due parameri....ma numericamente l'autovettore come lo esprimo???

grazie mille

[f4st1]

beh fai la stessa cosa.. sostituisci $\lambda=2$ nella matrice caratteristica (sottrai 2 sulla diagonale)
moltiplicando tale matrice per la colonna (xyz) =alla colonna (000) scriverai un sistema

$x=-y-z$ guardando questo scrivi la base $V_2=<(-1,1,0) (-1,0,1)>$