Autovalori nella diagonalizzata
Ciao, amici!
Mi è venuto un piccolo dubbio rispulciando l'argomento della diagonalizzabilità di una matrice. Se $Q$ è una matrice quadrata e $B$ è la sua base diagonalizzante, $B^-1 Q B = D$ sarà una matrice diagonale che ha sulla diagonale autovalori (il mio testo dice "gli autovalori [grassetto mio]") di $Q$ corrispondenti ad autovettori che sono proprio le colonne di $B$.
Detta $\mathbf{b}_i$ la $i$-esima colonna di $B$ e detto $\mathbf{e}_i$ il vettore che ha la $i$-esima componente unitaria e tutte le altre nulle (cioè è vettore della base standard), mi è chiaro che $B^-1QB=D=\text{diag}(d_1,...,d_n) <=> QB=BD <=> Q\mathbf{b}_i=Bd_i \mathbf{e}_i <=> Q\mathbf{b}_i=d_i \mathbf{b}_i$ (è immediato che $\mathbf{b}_i=B \mathbf{e}_i$) e quindi $d_i$ è un autovalore.
Però, se una matrice $Q$ ha $n$ autovalori distinti, devono essere rappresentati tutti sulla diagonale della matrice diagonale $D$ ottenuta con un cambio di base?
$+oo$ grazie a chi vorrà chiarirmi questo punto!
Mi è venuto un piccolo dubbio rispulciando l'argomento della diagonalizzabilità di una matrice. Se $Q$ è una matrice quadrata e $B$ è la sua base diagonalizzante, $B^-1 Q B = D$ sarà una matrice diagonale che ha sulla diagonale autovalori (il mio testo dice "gli autovalori [grassetto mio]") di $Q$ corrispondenti ad autovettori che sono proprio le colonne di $B$.
Detta $\mathbf{b}_i$ la $i$-esima colonna di $B$ e detto $\mathbf{e}_i$ il vettore che ha la $i$-esima componente unitaria e tutte le altre nulle (cioè è vettore della base standard), mi è chiaro che $B^-1QB=D=\text{diag}(d_1,...,d_n) <=> QB=BD <=> Q\mathbf{b}_i=Bd_i \mathbf{e}_i <=> Q\mathbf{b}_i=d_i \mathbf{b}_i$ (è immediato che $\mathbf{b}_i=B \mathbf{e}_i$) e quindi $d_i$ è un autovalore.
Però, se una matrice $Q$ ha $n$ autovalori distinti, devono essere rappresentati tutti sulla diagonale della matrice diagonale $D$ ottenuta con un cambio di base?
$+oo$ grazie a chi vorrà chiarirmi questo punto!
Risposte
Ovviamente:
$[Q(vec(v_1))=lambda_1vec(v_1)] ^^ [Q(vec(v_2))=lambda_2vec(v_2)] ^^ ... ^^ [Q(vec(v_n))=lambda_nvec(v_n)]$
Se si rappresenta l'endomorfismo associato alla matrice $[Q]$, per semplicità originariamente inteso rispetto alla base naturale, rispetto alla base degli autovettori, ogni colonna deve rappresentare le componenti dell'autovettore trasformato rispetto alla base degli autovettori medesima:
$((lambda_1),(0),(...),(0)) ^^ ((0),(lambda_2),(...),(0)) ^^ ... ^^ ((0),(0),(...),(lambda_n))$
Quindi, rispetto alla base degli autovettori, la matrice non può che essere diagonale con gli autovalori disposti lungo la diagonale principale, l'ordine non è importante. Il risultato si applica anche al caso in cui gli autovalori non siano tutti distinti, l'importante è che la matrice sia diagonalizzabile. Sempre che io abbia inteso correttamente il tuo dubbio.
$[Q(vec(v_1))=lambda_1vec(v_1)] ^^ [Q(vec(v_2))=lambda_2vec(v_2)] ^^ ... ^^ [Q(vec(v_n))=lambda_nvec(v_n)]$
Se si rappresenta l'endomorfismo associato alla matrice $[Q]$, per semplicità originariamente inteso rispetto alla base naturale, rispetto alla base degli autovettori, ogni colonna deve rappresentare le componenti dell'autovettore trasformato rispetto alla base degli autovettori medesima:
$((lambda_1),(0),(...),(0)) ^^ ((0),(lambda_2),(...),(0)) ^^ ... ^^ ((0),(0),(...),(lambda_n))$
Quindi, rispetto alla base degli autovettori, la matrice non può che essere diagonale con gli autovalori disposti lungo la diagonale principale, l'ordine non è importante. Il risultato si applica anche al caso in cui gli autovalori non siano tutti distinti, l'importante è che la matrice sia diagonalizzabile. Sempre che io abbia inteso correttamente il tuo dubbio.
Grazie ancora, Speculor!!!!!! Se gli autovalori sono tutti distinti, compaiono sempre tutti nella diagonalizzata o ne può comparire più volte uno, a seconda magari della base usata per diagonalizzarla?
Grazie di cuore!!!
Grazie di cuore!!!
"DavideGenova":
Se gli autovalori sono tutti distinti, compaiono sempre tutti nella diagonalizzata o ne può comparire più volte uno, a seconda magari della base usata per diagonalizzarla?
Non ti seguo. Per costruire una base di autovettori, devi forzatamente considerare tutti gli autovettori corrispondenti a tutti gli autovalori. La base non è univoca, non perchè io possa prendere un autovettore più di una volta, sarebbero linearmente dipendenti, ma perchè la norma degli autovettori può essere scelta arbitrariamente.
$+oo$ grazie, Speculor: ogni autovalore compare tante volte nella diagonalizzata quante corrispondono alla sua molteplicità algebrica come zero del polinomio caratteristico. Studiando queste cose come accenni sui libri di analisi a volte rimangono parecchi dubbi. Non vedo l'ora di dedicarmi un po' di più all'algebra lineare...
"DavideGenova":
Se gli autovalori sono tutti distinti...
In questo caso la molteplicità algebrica è uno. Quindi, ogni autovalore compare una volta sola.
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