Autovalori nel guscio convesso
Buonasera. Sia data una matrice $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ normale e $P\in\mathbb{C}^{n\times p}$ una matrice con colonne ortonormali (occhio che $P$ può essere rettangolare). Se $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ sono gli autovalori di $A$ allora gli autovalori di $P^{\ast} AP$ sono combinazioni convesse di $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, o in simboli se $\beta$ è radice di det$(P^{\ast}AP-xI)$ allora $\beta\in$Hull$(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$.
E' evidente che se $P$ è quadrata la tesi è ovvia, perché $A$ e $P^{\ast}AP$ sono proprio simili. Ma nel caso generale?
E' evidente che se $P$ è quadrata la tesi è ovvia, perché $A$ e $P^{\ast}AP$ sono proprio simili. Ma nel caso generale?
Risposte
Intanto determina l'inviluppo convesso di quell'insieme.
Non capisco.. l'inviluppo (o guscio) convesso di un insieme di punti è l'insieme delle combinazioni convesse di quei punti
E non riesci a scriverlo in un modo più facilmente comprensibile?
Una veloce ricerca su internet chiarisce ogni dubbio. In ogni caso scriverò per te la definizione completa.
Siano $P_1,\ldots,P_s$ punti di $\mathbb{R}^n$ e siano $a_1,\ldots,a_s$ numeri reali non negativi tali che $a_1+\ldots+a_s=1$. Si dice combinazione convessa la somma
\[
a_1P_1+\ldots+a_sP_s.
\]
Per avere idea di cosa sia una combinazione convessa si prendano 3 punti del piano. Una combinazione convessa di quei 3 punti è un qualsiasi punto contenuto nel triangolo che ha per vertici i 3 punti di partenza.
Il guscio (o involucro, o inviluppo) convesso è l'insieme di tutte le combinazioni convesse possibili, cioè prendi tutte le $s$-uple di coefficienti $(a_1,\ldots,a_s)$ che rispettano le due condizioni, cioè $a_i\geq 0$ per ogni $i$ e la somma delle componenti fa $1$.
Per completare l'esempio di prima il guscio convesso di 3 punti nel piano è proprio il triangolo che ha per vertici i 3 punti
Siano $P_1,\ldots,P_s$ punti di $\mathbb{R}^n$ e siano $a_1,\ldots,a_s$ numeri reali non negativi tali che $a_1+\ldots+a_s=1$. Si dice combinazione convessa la somma
\[
a_1P_1+\ldots+a_sP_s.
\]
Per avere idea di cosa sia una combinazione convessa si prendano 3 punti del piano. Una combinazione convessa di quei 3 punti è un qualsiasi punto contenuto nel triangolo che ha per vertici i 3 punti di partenza.
Il guscio (o involucro, o inviluppo) convesso è l'insieme di tutte le combinazioni convesse possibili, cioè prendi tutte le $s$-uple di coefficienti $(a_1,\ldots,a_s)$ che rispettano le due condizioni, cioè $a_i\geq 0$ per ogni $i$ e la somma delle componenti fa $1$.
Per completare l'esempio di prima il guscio convesso di 3 punti nel piano è proprio il triangolo che ha per vertici i 3 punti
Lo so cosa è un inviluppo convesso, ti stavo solo chiedendo: non è che per un sottoinsieme (finito) di $RR$ sai un modo per capire facilmente quale sia l'inviluppo convesso?
Certamente se siamo su $\mathbb{R}$ un inviluppo convesso è un segmento che congiunge il valore max col valore min. Ma gli autovalori sono complessi... non c'è un modo per prevedere la figura finale perché siamo su $\mathbb{R}^2$, a meno che non mi sfugga qualche proprietà delle matrici normali.
Onestamente non capisco la retorica che stai utilizzando. Ti ringrazio per il tempo che mi stai dedicando ma io ho una domanda, se hai la risposta ti prego di condividerla senza troppi giri di parole o arti maieutiche
Onestamente non capisco la retorica che stai utilizzando. Ti ringrazio per il tempo che mi stai dedicando ma io ho una domanda, se hai la risposta ti prego di condividerla senza troppi giri di parole o arti maieutiche
Eh allora ho fatto una gaffe io, avevo visto male e mi sembravano in $RR$, ora ci penso un po' e vediamo.
Pensandole come applicazioni, diventa chiaro che i vettori che vanno a finire in autovettori, sono a loro volta autovettori, relativi agli stessi autovalori, già è qualcosa.
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