Autovalori matrici quadrate con colonna nulla
Devo studiare una matrice quadrata la cui prima colonna è nulla. Vorrei sapere se, indipendentemente dalla dimensione, le matrici di questo tipo hanno almeno un autovalore nullo.
Ho verificato l'affermazione fino al caso in cui la dimensione è pari a 4, però mi sfugge il ragionamento da seguire per dimostrare il fatto in generale (senza procedere per induzione).
Ho verificato l'affermazione fino al caso in cui la dimensione è pari a 4, però mi sfugge il ragionamento da seguire per dimostrare il fatto in generale (senza procedere per induzione).
Risposte
Beh se una matrice ha una colonna nulla allora non ha rango massimo, quindi il suo nucleo ha almeno dimensione $1$ da cui...
Segue che il sistema \(Ax=0\) ammette soluzioni non banali, però poi come si procede? Probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua
Quindi esiste almeno un vettore $v$ non nullo tale che $Av = 0 = 0*v$, quindi $v$ è autovettore relativo a 0.
Nota che il nucleo di una matrice $A$(in generale di un endomorfismo) coincide, quando non è banale, con l'autospazio relativo a $0$ per $A$.
Nota che il nucleo di una matrice $A$(in generale di un endomorfismo) coincide, quando non è banale, con l'autospazio relativo a $0$ per $A$.
Ho capito, grazie per l'aiuto 
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