Autovalori matrice unitaria
Salve dovrei dimostrare che gli autovalori di una matrice unitaria sono numeri complessi di valore assoluto 1. Per quanto riguarda le matrici ortogonali (a coefficienti in $RR$) in aula l'abbiamo dimostrata in questo modo: https://www.matematicamente.it/forum/au ... 77141.html
Mentre per quanto riguarda le matrici unitarie il professore ha proceduto così:
Se $M$ è una matrice unitaria e $v$ è un autovettore di $M$ relativo all'autovalore $\lambda$
$\langle v,v \rangle = \langle Mv, v \rangle$
$=\langle \lambdav, \lambdav \rangle$
$=\lambda\bar{\lambda}\langle v,v \rangle$
$=\lambda\bar{\lambda} hArr $ $\|\lambda|= 1$
Non mi è però ben chiara la dimostrazione seppur breve. Qualcuno potrebbe darmi una mano? Grazie e buona serata.
Mentre per quanto riguarda le matrici unitarie il professore ha proceduto così:
Se $M$ è una matrice unitaria e $v$ è un autovettore di $M$ relativo all'autovalore $\lambda$
$\langle v,v \rangle = \langle Mv, v \rangle$
$=\langle \lambdav, \lambdav \rangle$
$=\lambda\bar{\lambda}\langle v,v \rangle$
$=\lambda\bar{\lambda} hArr $ $\|\lambda|= 1$
Non mi è però ben chiara la dimostrazione seppur breve. Qualcuno potrebbe darmi una mano? Grazie e buona serata.
Risposte
La prima riga è incompleta:
\[
\langle v,v\rangle=\left\langle\left(\overline{M^T}\times M\right)v,v\right\rangle=\langle Mv,Mv\rangle=\dots
\]
Ci sono altri punti non chiari?
\[
\langle v,v\rangle=\left\langle\left(\overline{M^T}\times M\right)v,v\right\rangle=\langle Mv,Mv\rangle=\dots
\]
Ci sono altri punti non chiari?
Provo a spiegare la dimostrazione per cercare di farti capire che cosa non ho capito:
Una matrice unitaria è una matrice $M$ che soddisfa questa condizione:
$M\text{*} M=MM\text{*} =Id$
dove con $M\text{*} $ si indica la matrice trasposta coniugata ovvero: $\overline{M^T}$
E in questo modo giustifico ciò che hai scritto (ovviamente correggimi se sbaglio).
\[ \langle v,v\rangle=\left\langle\left(\overline{M^T}\times M\right)v,v\right\rangle=\langle Mv,Mv\rangle\]
Per poter portare $M$ al secondo membro stiamo sfruttando la linearità del prodotto hermitiano?
Edit: Ho appena visto sul Serg Lang e ho trovato ciò che hai scritto tu (si tratta del caso reale, ma è la stessa cosa, a patto di coniugare): "L'operatore $M$ è unitario se e solo se,
\[ \langle v,v\rangle=\langle Mv,Mv\rangle\]
per ogni scelta di $v$ e $w$ in $V$. Questa condizione equivale a \[\langle ^tAAv,w\rangle = \langle v,v\rangle\] per ogni $v$ e $w$ in $V$ e perciò equivale anche ad $\A^tA = I$".
Il dubbio però è: la possibilità di "spostare" (qual è il termine giusto?) la $M$ dalla seconda alla prima componente deriva dalla proprietà di simmetria del prodotto hermitiano standard
Infine per poter affermare che$ \langle Mv,Mv\rangle\ =\langle \lambdav, \lambdav \rangle $ devo sfruttare la definizione di autovalore? Ovvero:
$Mv= \lambdav$
Mentre sulla parte finale non ho problemi: ovviamente affinché $ \langle v,v \rangle$ sia uguale a $\lambda\bar{\lambda}\langle v,v \rangle $ il valore assoluto di $\lambda$ deve essere $=1$
Grazie ancora per l'aiuto.
Una matrice unitaria è una matrice $M$ che soddisfa questa condizione:
$M\text{*} M=MM\text{*} =Id$
dove con $M\text{*} $ si indica la matrice trasposta coniugata ovvero: $\overline{M^T}$
E in questo modo giustifico ciò che hai scritto (ovviamente correggimi se sbaglio).
\[ \langle v,v\rangle=\left\langle\left(\overline{M^T}\times M\right)v,v\right\rangle=\langle Mv,Mv\rangle\]
Per poter portare $M$ al secondo membro stiamo sfruttando la linearità del prodotto hermitiano?
Edit: Ho appena visto sul Serg Lang e ho trovato ciò che hai scritto tu (si tratta del caso reale, ma è la stessa cosa, a patto di coniugare): "L'operatore $M$ è unitario se e solo se,
\[ \langle v,v\rangle=\langle Mv,Mv\rangle\]
per ogni scelta di $v$ e $w$ in $V$. Questa condizione equivale a \[\langle ^tAAv,w\rangle = \langle v,v\rangle\] per ogni $v$ e $w$ in $V$ e perciò equivale anche ad $\A^tA = I$".
Il dubbio però è: la possibilità di "spostare" (qual è il termine giusto?) la $M$ dalla seconda alla prima componente deriva dalla proprietà di simmetria del prodotto hermitiano standard
Infine per poter affermare che$ \langle Mv,Mv\rangle\ =\langle \lambdav, \lambdav \rangle $ devo sfruttare la definizione di autovalore? Ovvero:
$Mv= \lambdav$
Mentre sulla parte finale non ho problemi: ovviamente affinché $ \langle v,v \rangle$ sia uguale a $\lambda\bar{\lambda}\langle v,v \rangle $ il valore assoluto di $\lambda$ deve essere $=1$
Grazie ancora per l'aiuto.
"SimoneSc":Più che altro, utilizzo la definizione dello stesso; per essere esatti, uno dovrebbe scrivere:
...Per poter portare $M$ al secondo membro stiamo sfruttando la linearità del prodotto hermitiano?...
\[
\forall\underline{v}\in\mathbb{C}^n,M\times\underline{v}^T
\]
in quanto \(\displaystyle\underline{v}\) è un vettore riga... e quel prodotto restituisce un vettore colonna.
Quindi, dopo esserci disorientati, uno definisce:
\[
\langle\underline{v},\underline{v}\rangle=\underline{v}\times\overline{\underline{v}^T}
\]
e svolgendo tutti i calcoli (che ometto) ottieni l'eguaglianza che ho scritto!
In generale, e scusa per la pesantezza notazionale:
\[
\forall A\in\mathbb{C}_n^n,\underline{v},\underline{w}\in\mathbb{C}^n\,\left\langle\left(A\times\underline{v}^T\right)^T,\underline{w}\right\rangle=\left\langle\underline{v},\underline{w}\times\overline{A^T}\right\rangle;
\]
ovviamente tutto si semplifica in:
\[
\langle \underline{v}\times A,\underline{w}\rangle=\left\langle\underline{v},\underline{w}\times\overline{A^T}\right\rangle.
\]
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