Autovalori matrice associata a endomorfismo

[BRN1]

Ciao a tutti, ho tra le mani questo endomorfismo $ f:cc(R) ^4rarr cc(R) ^4 $

$ f( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )= ( ( 2h^2 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) ; f( ( h ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )=( ( 2h^3+h ),( h ),( 0 ),( 0 ) ) ; f( ( 0 ),( 3 ),( 1 ),( 0 ) )=( ( 3(h-1) ),( 3(1+h) ),( 2 ),( -h ) ) ; f( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( -3 ),( 3 ),( h ),( 4 ) ) $

Devo trovare la matrice associata e gli autovalori nel caso $ h=1/2 $.

Per la matrice associata, procedo in questo modo:

$ a( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) + b ( ( h ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) + c ( ( 0 ),( 3 ),( 1 ),( 0 ) ) + d ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) = ( ( 2h^2 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $

metto a sistema e risolvo trovando:

$ ( ( 2h^2 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )= e_1 $

Allo stesso modo faccio per gli altri vettori immagine di $ f $, ottenendo:

$ ( ( h(2h^2+1-h) ),( h ),( 0 ),( 0 ) )= e_2 ; ( ( -3(1+h^2-2h) ),( -3(1-h) ),( 2 ),( -h ) ) = e_3 ; ( ( -3(1+h-h^2) ),( 3(1-h) ),( h ),( 4 ) ) = e_4$

La matrice associata quindi è:

$ A_h = (e_1 ; e_2 ; e_3; e_4) = ( ( 2h^2 , h(2h^2+1-h) , -3(1+h^2-2h) , -3(1+h-h^2) ),( 0 , h , -3(1-h) , 3(1-h) ),( 0 , 0 , 2 , h ),( 0 , 0 , -h , 4 ) ) $

Ora per trovare gli autovalori con $ h= 1/2 $, calcolo $ det(A_(1/2) - lambda I) = ( ( 1/2 - lambda , 1/2 , -3/4, -15/4 ),( 0 , 1/2 - lambda , -3/2 , 3/2 ),( 0 , 0 , 2 - lambda , 1/2 ),( 0 , 0 , -1/2 , 4 - lambda ) ) $

Lo faccio tramite Laplace rispeto alla terza riga:

$ det(A_(1/2) - lambda I) = (2 - lambda) * det ( ( 1/2 - lambda , 1/2 , -15/4 ),( 0 , 1/2 - lambda , 3/2 ),( 0 , 0 , 4 - lambda ) ) - h * det ( ( 1/2 - lambda , 1/2 , -3/4 ),( 0 , 1/2 - lambda , -3/2 ),( 0 , 0 , - 1/2 ) ) ) $

e mi risulta essere:

$ (2 - lambda)(1/2-lambda)^2(4-lambda) - h (1/2-lambda)^2 (-1/2) = lambda^4 -7lambda^3+29/2 lambda^2 - 39/4 lambda +33/16 $

Ma è corretto quello che ho fatto??? Esce davvero un polinomio di quarto grado??? Ma come si scompone???

Grazie di cuore a chi mi da una risposta.

.BRN

[Sk_Anonymous]

$[A_(h=1/2)]$ non mi sembra corretta. Infatti, essendo per $[h=1/2]$:

$f((1),(0),(0),(0))=((1/2),(0),(0),(0))$

$f((0),(1),(0),(0))=f[-1/2((1),(0),(0),(0))+((1/2),(1),(0),(0))]=-1/2f((1),(0),(0),(0))+f((1/2),(1),(0),(0))=-1/2((1/2),(0),(0),(0))+((3/4),(1/2),(0),(0))=((1/2),(1/2),(0),(0))$

$f((0),(0),(1),(0))=f[-3((0),(1),(0),(0))+((0),(3),(1),(0))]=-3f((0),(1),(0),(0))+f((0),(3),(1),(0))=-3((1/2),(1/2),(0),(0))+((-3/2),(9/2),(2),(-1/2))=((-3),(3),(2),(-1/2))$

$f((0),(0),(0),(1))=((-3),(3),(1/2),(4))$

si dovrebbe ottenere:

$A_(h=1/2)=((1/2,1/2,-3,-3),(0,1/2,3,3),(0,0,2,1/2),(0,0,-1/2,4))$

In ogni modo, nel calcolo degli autovalori, conviene utilizzare Laplace considerando la prima colonna:

$[(1/2-lambda)^2[(2-lambda)(4-lambda)+1/4]=0] rarr [(1/2-lambda)^2(lambda^2-6lambda+33/4)=0] rarr [lambda=1/2] vv [lambda=(6+-sqrt3)/2]$

[BRN1]

A te la matrice associata esce così perchè hai riscritto i vettori del dominio in coordinate canoniche di $ RR^4 $, però seguendo questo esercizio:

http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?t=40659&p=302840

questo passaggio non viene fatto...

A questo punto vado un po' in confusione. Si deve sempre riscrivere i vettori del dominio in coordinate canoniche? Perchè nell'esercizio che ho linkato sopra non è stato fatto?

Prendendo buona la tua matrice associata, come mai applicando l'endomorfismo non riottengo i vettori immagine corretti?
Infatti:

$ f( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )= 2h^2( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )=( ( 2h^2 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $

$ f( ( h ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )= h( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )+ h( ( h ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) = ( ( h(1+h) ),( h ),( 0 ),( 0 ) ) $

$ f( ( 0 ),( 3 ),( 1 ),( 0 ) )= -3( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )+ 3( ( h ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) + 2 ( ( 0 ),( 3 ),( 1 ),( 0 ) ) - h ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) = ( ( -3(1-h) ),( 9 ),( 2 ),( -h ) ) $

$ f( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )= -3( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) )+ 3( ( h ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) + h ( ( 0 ),( 3 ),( 1 ),( 0 ) ) + 4 ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) = ( ( -3(1-h) ),( 3(1+h) ),( h ),( 4 ) ) $

Riusciresti a chiarirmi le idee?

Grazie.

.BRN

[Sk_Anonymous]

"BRN":
A te la matrice associata esce così perchè...

Non mi ero accorto che avevi rappresentato l'endomorfismo rispetto alla base costituita dai vettori dei quali conosci le immagini. I due metodi, in assenza di ulteriori specifiche, sono equivalenti. Tuttavia, vedendo la consegna, mi sembrava più agevole procedere come sopra, quasi "per simpatia". Non so quanto tempo hai impiegato per svolgere i calcoli, solo tu puoi dirlo.

"BRN":
Prendendo buona la tua matrice associata...

Ho determinato la matrice nel caso in cui $[h=1/2]$. In ogni modo, non sarebbe stato molto più complicato anche il caso generale. Per esempio:

$f((0),(1),(0),(0))=f[-h((1),(0),(0),(0))+((h),(1),(0),(0))]=-hf((1),(0),(0),(0))+f((h),(1),(0),(0))=-h((2h^2),(0),(0),(0))+((2h^3+h),(h),(0),(0))=((h),(h),(0),(0))$

Onestamente, non ho compreso quale tipo di verifica tu abbia fatto.

[BRN1]

"speculor":
Onestamente, non ho compreso quale tipo di verifica tu abbia fatto.

Volevo fare la stessa cosa che era stata fatta nell'esercizio che ho linkato sopra, ovvero trovata la matrice associata all'endomorfismo, applicare tale endomorfismo ai vettori del dominio per ritrovare i vettori immagine dati.
La cosa mi riesce se non riscrivo la mia base in coordinate canoniche. Se invece la riscrivo in coordiante canoniche, non mi riesce più...

A parte questo, mi basta sapere che riscrivere o no i vettori del dominio rispetto alla base canonica è indifferente per la ricerca della matrice associata all'allendomorfismo (qualunque sia il modo, la matrice che ottengo è giusta ugualmente) e che per calcolare il determinante di $ (A_h-lambdaI) $ è meglio applicare Laplace rispetto alla prima colonna. Io ho il vizio di considerare solo le righe...
Per tutto il resto vado sulla fiducia.

Grazie e ciao!

.BRN

[Sk_Anonymous]

In generale:

$f((1),(0),(0),(0))=((2h^2),(0),(0),(0))$

$f((0),(1),(0),(0))=f[-h((1),(0),(0),(0))+((h),(1),(0),(0))]=-hf((1),(0),(0),(0))+f((h),(1),(0),(0))=-h((2h^2),(0),(0),(0))+((2h^3+h),(h),(0),(0))=((h),(h),(0),(0))$

$f((0),(0),(1),(0))=f[((0),(3),(1),(0))-3((0),(1),(0),(0))]=f((0),(3),(1),(0))-3f((0),(1),(0),(0))=((3(h-1)),(3(h+1)),(2),(-h))-3((h),(h),(0),(0))=((-3),(3),(2),(-h))$

$f((0),(0),(0),(1))=((-3),(3),(h),(4))$

Quindi:

$A_h=((2h^2,h,-3,-3),(0,h,3,3),(0,0,2,h),(0,0,-h,4))$

Se completi la tua verifica con questa, non avrai sicuramente problemi.

[BRN1]

Ok, grazie mille!

.BRN