Autovalori matrice

[simone.sergi.3]

Ciao a tutti,
sto svolgendo un esercizio legato a fondamenti di automatica e nel calcolo dell'equilibrio del sistema bisogna studiare gli autovalori di una certa matrice.
Ho il risultato scritto dal prof a cui però non riesco proprio ad arrivare!



lui senza passaggi ricava gli autovalori come nell'immagine.
mi sapreste spiegare come ci è arrivato (senza fare i conti)?
Grazie

[Magma1]

Ciao, prova a partire dalla definizione di autovettore

[simone.sergi.3]

allora partendo dalla definizione di autovettore:

dato un vettore non nullo v tale per cui vale la relazione $Av=\lambdav$ allora $v$ è detto autovettore di $A$ associato all'autovalore $\lambda$.

partendo da questa definizione ho fatto i conti:
sapendo che $A= -2I+[[2],[2],[2]] [x,y,z]$ allora sostituendo nella definizione di autovettore mi ritrovo con:

$[[-2,0,0],[0,-2,0],[0,0,-2]] v +[[2x,2y,2z],[2x,2y,2z],[2x,2y,2z]]v = \lambdav$

in conclusione chiamo $B$ la prima matrice e $C $la seconda, raccogliendo $v$ ottengo:

$[(B+C)-I\lambda]v=0$

ma questo è il risultato che avevo ottenuto prima di postare questa domanda e il problema è che svolgendo i conti vengono abbastanza complicati.

Non capisco se e dove sia possibile semplificare i conti.

[j18eos]

Per tutta una serie di motivazioni teoriche che salto: gli autovalori \(\displaystyle\lambda\) sono le soluzioni dell'equazione
\[
\det(B+C-\lambda I)=0.
\]
Non ricordi?

[simone.sergi.3]

"j18eos":Per tutta una serie di motivazioni teoriche che salto: gli autovalori \( \displaystyle\lambda \) sono le soluzioni dell'equazione
\[ \det(B+C-\lambda I)=0. \]
Non ricordi?

Esattamente è quello che ho fatto ma vengono dei conti abbastanza complicati e visto che il prof ha dato quella soluzione senza alcun calcolo volevo sapere se c'è qualche semplificazione possibile.

[j18eos]

Mi sfugge un dettaglio: cosa significa la scrittura
\[
\begin{pmatrix}
2\\
2\\
2
\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}
x & y & z
\end{pmatrix}
\]

[Bokonon]

La matrice A è una matrice simmetrica, pertanto esistono 3 autovalori reali...e ricordiamo sin d'ora la proprietà per cui $lambda_1+lambda_2+lambda_3=tr(A)$
$B= ( ( 2 ),( 2 ),( 2 ) ) ( x \ \ y \ \ x )=( ( 2x , 2y , 2z ),( 2x , 2y , 2z ),( 2x , 2y , 2z ) ) $ ha rango 1 e quindi determinante 0.
Stiamo cercando dei $lambda$ tali che $det(A-lambdaI)=0$ e guarda un po' la matrice $B$ soddisfa lo scopo.
Pertanto $A-(-2)I=B$ è ciò che cerchiamo, ergo per $lambda=-2$ abbiamo che il kernel di $B$ ha dimensione 2...perciò ricaviamo due autovettori collegati a questo autovalore.
Per il terzo, usiamo l'identità di cui sopra e abbiamo $lambda-4=2x-2+2y-2+2z-2 rArr lambda=2(x+y+z)-2$

[Magma1]

Se gli autovalori di una matrice $C$ $n \times n$ sono $ lambda_1, ..., lambda_n $, allora gli autovalori di $alpha I_n+C$ sono $ lambda_1+alpha, ..., lambda_n +alpha $. Quindi trovati gli autovalori di $C$ il gioco è fatto.