Autovalori equazioni differenziali

[Magma1]

Buonasera a tutti

Data l'equazione differenziale del quarto ordine $$\frac{\partial^4 z(x)}{\partial x^4}=\mu^4 z(x)$$ l'integrale generale ha la forma $$z=C_1 \sin(\mu x) + C_2 \cos(\mu x) + C_3 \sinh(\mu x) + C_4 \cosh(\mu x) $$ le costanti di integrazione $C_i$ le ricavo imponendo le condizioni al contorno che forniscono un sistema lineare omogeneo

$ [( \star , \star , \star , \star ),( \star , \star , \star , \star ),( \star , \star , \star , \star ),( \star , \star , \star , \star) ] [( C_1 ),( C_2 ),( C_3 ),( C_4)]=[( 0 ),( 0 ),(0 ),(0)] $

Per escludere le soluzioni banali, annullo il determinante della matrice dei coefficienti $\mathbf{M}$:
$$\det[\mathbf{M}(\mu)]=0$$
da cui si ottiene un'equazione trascendente le cui radici $\mu$ rappresentano gli autovalori, a cui si associano le autofunzioni $z$.

Ora i miei dubbi sono: le radici $\mu$ hanno una molteplicità "algebrica"? Qual è la dimensione dell'autospazio associato a un generico autovalore?

[j18eos]

"Magma":[...]\[ \frac{\partial^4 z}{\partial z^4}=\mu^4 z \][...]

\[
\frac{\partial^4z}{\partial z^4}=0=\mu^4z
\]
...sbaglio?

[Magma1]

@j18eos: ho sbagliato a scrivere la derivata, ora ho corretto il post iniziale

[dissonance]

https://math.stackexchange.com/q/137468/8157

[Magma1]

"dissonance":https://math.stackexchange.com/q/137468/8157

Ti ringrazio, peccato che il libro citato Naimark, M. A. Linear differential operators risulti introvabile

[dissonance]

Ma forse il libro non serve. Intanto io credo che la risposta alla tua domanda sia affermativa. Non hai specificato chi sia la tua matrice \(M(\mu)\), ma nel post linkato c'é qualcosa di simile ed é chiamato \(\Delta(\lambda)\), che é una funzione olomorfa con zeri esattamente negli autovalori del problema. Il che ha senso; per problemi finito-dimensionali, dobbiamo studiare polinomi, che hanno un numero finito di zeri, mentre ora siamo in un problema infinito-dimensionale e appaiono delle funzioni olomorfe (="polinomi di grado infinito").

Tutto questo per dire che, secondo me, la molteplicitá degli zeri di \(M(\mu)\) é un upper bound (*) per la dimensione dell'autospazio corrispondente. Questa roba é probabilmente scritta in quel librone russo degli anni Sessanta ma anche se lo trovassimo sará sicuramente illeggibile. Proviamo a dimostrarla qui. Per prima cosa devi scrivere per bene la definizione di \(M(\mu)\).

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(*) Non mi piacciono troppo gli inglesismi ma qui mi pareva proprio necessario.

[Magma1]

"dissonance": Per prima cosa devi scrivere per bene la definizione di \(M(\mu)\).

$M(\mu)$ sarebbe la matrice dei coefficienti del sistema lineare omogeneo che garantisce il rispetto delle condizioni al contorno; per fare un paragone con il link postato credo [nota]Ho qualche dubbio perché a me risulta $\mathbf{M}(\mu)(C_1,C_2,C_2,C_4)^T=\mathbf{0}$ cioè l'incognita è il vettore delle costanti di integrazioni e non la l'autofunzione $z$.[/nota] che sia la $U$. La matrice $M$ contiene la funzione $z$ o una sua derivata (prima, seconda o terza), a seconda delle condizioni di vincolo, calcolate agli estremi ($x=0,L$) ; riporto un esempio di seguito.

Per ricavare le autofunzioni
\begin{align*}
\bar{z}=A \sin (\mu x) +B \cos(\mu x)+C\sinh (\mu x) +D \cosh (\mu x)
\end{align*}
si impongono le condizioni al contorno che, per una trave di lunghezza $L$ semplicemente appoggiata, richiedono che lo spostamento $z$ e il momento $\mathcal{M}~= z''$ siano nulli alle estremità; quindi, il sistema lineare omogeneo è:
\begin{align*}
\begin{bmatrix}
0&1&0&1\\
0&-\mu^2 &0&\mu^2 \\
\sin(\mu L) & \cos(\mu L) & \sinh(\mu L) & \cosh(\mu L) \\
-\mu^2\sin(\mu L) & -\mu^2\cos(\mu L) & \mu^2 \sinh(\mu L) & \mu^2 \cosh(\mu L)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
A \\ B \\ C \\ D
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}
\end{align*}
il determinante della matrice dei coefficienti $\mathbf{M}$ è
\begin{align*}
\det(\mathbf{M}) =-4\mu^4 \sin(\mu L) \sinh(\mu L)=0
\end{align*}
La soluzione $\sinh(\mu L)=0$ è da scartare perché ha un'unica radice $\mu=0$ che comporta assenza di oscillazioni; quindi rimane
\begin{align*}
\sin(\mu L)=0 \iff \mu L=n\pi \, , \qquad n=1,2,3,\dots
\end{align*}
La pulsazione dell'$n$-esimo modo è:
\begin{align*}
\omega_n =n^2\frac{\pi^2a}{L^2 } \, , \qquad n=1,2,3,\dots
\end{align*}
L'autofunzione $z_n$ è
\begin{align*}
z_n(x)=A\sin \frac{n \pi x}{L} \, , \qquad n=1,2,3,\dots
\end{align*}
con $A$ costante arbitraria.

Questo è un caso particolare che si riesce a risolvere analiticamente, per altre condizioni di vincolo sono necessari metodi numerici per ricavare le radici $\mu$. Ad esempio, per una mensola si impone $z(0)=0,z'(0)=0$ e $z''(L)=0, z'''(L)=0$, ottenendo $\det(M(\mu))=1+\cos(\mu L) \cosh(\mu L)=0$.

[dissonance]

E si, quindi il "polinomio caratteristico" di questo problema é la funzione \(\mu\mapsto \sin(\mu L)\sinh(\mu L)\). Possiamo richiedere \(L=1\). Gli zeri di questa funzione sono gli stessi di \(\sin\) e, a parte \(\mu=0\) che comunque va scartato, sono tutti semplici. E infatti anche le autofunzioni sono tutte semplici. Non c'é altro da dimostrare, almeno nel caso della trave semplicmente appoggiata.

Forse vuoi sapere se le autofunzioni sono tutte semplici anche nel caso generale? Suppongo che per la mensola, che hai riportato, sará vero, visto che il polinomio caratteristico ha zeri tutti semplici.

[Magma1]

"dissonance":
Forse vuoi sapere se le autofunzioni sono tutte semplici anche nel caso generale?

Esattamente, ho scritto un esempio particolare perché non viene fornita una definizione generale di $M(\mu)$ [nota]Anil K. Chopra, Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, 2011 pp.700-705[/nota]. Il problema è il seguente. Data l'equazione delle oscillazioni trasversali
$$\ddot{\bar{z}}+a^2 \bar{z}''''=f(x,t)$$ effettuando il cambiamento di coordinate
$$\bar{z}(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty} A_k(t)z_k(x)$$ e sfruttando la definizione di autofunzione $z''''=\mu^4z=\omega^2/a^2z$, ottengo
$$\big(\ddot{A}_k +\omega_k^2A_k \big)z_k=f(x,t)$$ quindi, proiettando sulla $j$-esima autofunzione ottengo $$ \big(\ddot{A}_k +\omega_k^2 A_k\big)(z_k,z_j)=(f(x,t),z_j)$$
posso sfruttare l'ortogonalità delle autofunzioni associate ad autovalori distinti $$\mu^4_k \ne \mu^4_j \implies (z_k,z_j):=\int_0^L z_k z_j\, dx=0\, , \quad k\ne j \tag{$\star$}$$ e ricavare delle equazioni "disaccoppiate" che coinvolgono solo la $j$-esima autofunzione
$$ \ddot{A}_j +\omega_j^2 A_j =\frac{(f(x,t),z_j)}{(z_j,z_j)} $$
Il dubbio mi è sorto perché, facendo uso della $(\star)$, viene dato per scontato che le autofunzioni siano sempre tutte semplici; è possibile dimostrarlo?

[dissonance]

Quella formula é vera anche per autofunzioni con molteplicità. Chiaramente hai ortogonalità solo se due funzioni si riferiscono ad autovalori diversi.

[Bokonon]

"dissonance":Chiaramente hai ortogonalità solo se due funzioni si riferiscono ad autovalori diversi.

...ma si può sempre ricavare una base ortogonale di un autospazio di dimensione $n=m.a.(lambda_i)>1$

[Magma1]

"dissonance":Quella formula é vera anche per autofunzioni con molteplicità.

Chiaro, la seccatura sarebbe dover controllare se sia necessario applicare Gram-Schmidt

Comunque mi hai accesso una lampadina e ho calcolato i determinanti delle combinazioni di vincolo fisicamente accettabili, ottenendo i seguenti determinanti
\begin{align}
&\cos(\eta)\cosh(\eta)-1\\
&\cosh(\eta)\sin(\eta)-\cos(\eta)\sinh(\eta)\\
&\cos(\eta)\cosh(\eta)+1\\
&\sin(\eta)\sinh(\eta)
\end{align}
Questi credo che abbiano tutti radici semplici, giusto?