Autovalori ed Autovettori

[Frastolo]

Salve,
ho un problema nel trovare gli autovalori e gli autovettori associati alla seguente matrice:

1 1 1...1
1 1 1...1
1 1 1...1
. 1 1...1
.
. 1 1 ...1

Insomma una matrice quadrata di ordine n composta da tutti 1.

[_prime_number]

Calcolando il determinante (con Laplace usando la prima riga) per trovare il polinomio caratteristico si ottiene:
[tex](1-t)\left|\begin{array}{ccccc}
1-t&1&\cdots&\cdots&1\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
1&\cdots&\cdots&1&1-t
\end{array}\right|
-\left|\begin{array}{ccccc}
1-t&1&\cdots&\cdots&1\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
1&\cdots&\cdots&1&1-t
\end{array}\right|
+\left|\begin{array}{ccccc}
1-t&1&\cdots&\cdots&1\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
1&\cdots&\cdots&1&1-t
\end{array}\right|-\cdots=[/tex]


[tex](1-t)\left|\begin{array}{ccccc}
1-t&1&\cdots&\cdots&1\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
1&\cdots&\cdots&1&1-t
\end{array}\right|-\frac{1}{2}(1+(-1)^{n-1})\left|\begin{array}{ccccc}
1-t&1&\cdots&\cdots&1\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
1&\cdots&\cdots&1&1-t
\end{array}\right|[/tex]

quindi la questione è iterativa, prova a partire da qui... a vedere cosa accade per $n=2,3...$

Paola

[Frastolo]

Ho provato per n=2, n=3 solo che non mi dice tanto...
Tale domanda l'ha fatta un mio prof ad un esame orale e dato che le domande si ripetono volevo un po' capire come rispondergli. Se dovessi calcolare il determinante triangolarizzando la matrice andrebbe bene?

[franced]

Allora: la matrice è simmetrica, quindi è diagonalizzabile.
La matrice ha rango 1 (ovvio!), quindi ha l'autovalore $\lambda=0$ con molteplicità geometrica = n-1.
La molteplicità algebrica è $\geq 1$, per trovare l'ultimo autovalore $\lambda_n$
possiamo sfruttare la traccia della matrice:

$tr(A) = n$

la somma degli autovalori è uguale alla traccia:

$n = 0 + ... + 0 + \lambda_n$

da cui

$\lambda_n = n$

Quindi, in definitiva abbiamo che

l'autovalore $\lambda=0$ ha molteplicità algebrica = molteplicità geometrica = n-1

l'autovalore $\lambda=n$ ha molteplicità algebrica = molteplicità geometrica = 1.

Per gli autovettori basta ragionare sul fatto che $(1,1,...1)$ è autovettore relativo a $\lambda=n$.

L'autospazio relativo a $\lambda=0$, invece, coincide con il nucleo della matrice:
si tratta dei vettori ortogonali al vettore $(1,1...,1)$,
quindi basta trovarne una base che può essere scelta così:

$(1,-1,0,0,...,0)$, $(1,0,-1,0,0,...,0)$, $(1,0,0,-1,0,0,...,0)$, ..., $(1,0,0,...,0,0,-1)$

[Frastolo]

Per dire che 0 è un autovalore con molteplicità n-1 hai applicato la seguente relazione?
dim V = dim Ker + dim Im => dim ker = dim V - dim Im , dove dim V = n e dim Im = rango della matrice .

[franced]

"Frastolo":Per dire che 0 è un autovalore con molteplicità n-1 hai applicato la seguente relazione?
dim V = dim Ker + dim Im => dim ker = dim V - dim Im , dove dim V = n e dim Im = rango della matrice .

Sì, però ci tengo a precisare che si tratta di molteplicità geometrica.

[Frastolo]

Ottimo, grazie della risposta

Ps: grazie anche a prime_number, ma da solo propio non ci sarei arrivato...

[franced]

prego.