Autovalori e valori di h

[Shadownet614]

Assegnato l'endomorfismo dello spazio vettoriale R^3: fh(x,y,z)=(x+y+z,y,-4hy) con h€R
a) determinare gli autovalori di fh e i valori di h tali che fh sia diagonalizzabile;
b) determinare i valori del parametro h per cui il vettore (1,1,1) appartenga a Imf.
Io ho eseguito così:
f(1,0,0)=(1,0,0) c1
f(0,1,0)=(1,1,-4h)c2
f(0,0,1)=(1,0,0) c3 con $ [ ( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 0),( 0 , -4h , 0 ) ] $
e sviluppato così :
$ [ ( 1-t , 1 , 1 ),( 0 , 1-t , 0),( 0 , -4h , 0-t ) ] $ dopodichè mi trovo (1-t)(1-t)(-t)=(1-t)^2 (-t)
t=0; ma1
t=1 ma 2
per t=0
V= $ [ ( 1, 1 , 1 ),( 0 , 1 , 0),( 0 , -4h , 0 ) ] $ con dim =1 quindi t=0 mg 1 e diagonalizzabile
t=1
V2= $ [ ( , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0),( 0 , -4h , -1 ) ] $ da cui dim 1 quindi t=1 mg 1 non diagonalizzabile
Ma non capisco come trovare i valori di h :/ il risultato dice che fh è diagonalizzabile per h=1/4

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Per $t=1$ (con molteplicità algebrica pari a 2) si ha il seguente sistema da risolvere:

${(x+y+z=x),(y=y),(-4hy=z):} Rightarrow ... Rightarrow {(y=-z),(z(4h-1)=0):}$

I casi sono due:

1) $h=1/4$; si ha:

$V_{1/4}=mathcalL{(1,0,0),(0,1,-1)} Rightarrow dimV_{1/4}=2$

quindi $f_{1/4}$ risulta essere diagonalizzabile.

2) $h!=1/4$; si ha:

$V_h=mathcalL{(1,0,0)} Rightarrow dimV_h=1$

quindi $f_h$ non risulta essere diagonalizzabile.

Saluti.