Autovalori e polinomio caratteristico

[vit46]

salve scrivo per risolvere un dubbio di algebra lineare sugli autovalori di una matrice 3x3;

il problema è il polinomio caratteristico esempio.

2     1     0
1     3     1
0     1     2

adesso calcolo il determinante della matrice che per definizione è det(A - xI) cioè la matrice A - lambda sulla matrice identità.
il risultato è questo:

2-x   1      0 
1      3-x   1
0      1      2-x

essendo una matrice 3x3 posso utilizzare per calcolare il determinante la regola di sarrus ottenendo
(2-x)(3-x)(2-x) + (1)(1)(0) +(0)(1)(1) - (0)(3-x)(0)-(1)(1)(2-x)-(2-x)(1)(1)


adesso nasce il problema con il polinomio caratteristico non riesco a trovare la soluzione esatta 
non riesco a moltiplicare nel modo corretto i valori 

la mia soluzione al polinomio caratteristico è 8 - x^3 + 2x

un altro problema risiede nella difficoltà a trovare gli autovetturi.

dopo aver risolto il polinomio caratteristico la teoria dice che dobbiamo ridurre il polinomio con la regola di Ruffini per i polinomi di grado superiore al secondo, in quanto al grado 2 possiamo risolvere con l'equazione, trovati gli autovalori devo riprendere la matrice è sostituire il valore ottenuto a lambda ottenendo una nuova matrice che dovrò moltiplicare per il vettore colonna (x,y,z) = (0,0,0) mettere a sistema i valori ottenuti ed inseguito determinare tra i tre coefficienti un valore libero,

qui sorge il secondo problema quale valore assegno al valore libero;
es.

{x +y +2z=0
{2x + y = 0
{x +y = 0

io solitamente mi muovo in questo modo

{ x + y +2z = 0
{2x + y = 0
{x = y (y = a)

{x + a + 2z = 0
{2x + a = 0
{x = a

come ottengo gli autovettori non riesco a trovare una soluzione non riesco a capire dove sbaglio, ringrazio anticipatamente chi mi aiuterà 
 

[feddy]

Di solito il polinomio caratterstico è di facile risoluzione (Ruffini, barbatrucchi algebrici, ecc.)

Nel tuo caso non esiste un metodo esplicito per trovare la soluzione (o meglio ci sarebbero le formule risolutive per le equazioni di terzo grado, ma sono un macello), al limite puoi utilizzare un metodo numerico.

Prova a ricontrollare il tuo determinante. Se c'è un errore deve essere lì.

[vit46]

l'errore è nel determinante ma non riesco a capire dove

[vit46]

cioè il mio problema è quello di non riuscire a capire come moltiplicare i valori del determinante ad esempio

(2-k)(3-k)(2-k)

devo fare 2 * 3 * 2
poi 2 * k * k
poi k * 3 * 2
poi k * k * k
facendo così non mi esce il risultato

[feddy]

Non capisco quello che intendi sinceramente.
Io la regola di Sarrus non la so. Usa quella di Laplace. Inoltre una volta che hai ottenuto il polinomio come prodotto sei apposto. Non devi fare tutti i prodotti.

La tua matrice è simmetrica, pertanto per il teorema spettrale hai che la matrice è sicuramente diagonalizzabile.

[vit46]

ok

[Magma1]

$det( ( 2 -k, 1 , 0 ),( 1 , 3-k , 1 ),( 0 , 1 , 2 -k) ) $

Applicando la regola di Sarrus

$(2-k)*(3-k)*(2-k)-[(2-k)+(2-k)]=$

$=(2-k)*[(3-k)(2-k)-2]=$

$=(2-k)*(k^2-5k+6-2)=$

$=(2-k)*(k^2-5k+4)=$

$=(2-k)*(4-k)*(1-k)$

Quindi gli autovalori sono $1,2,4$.

Per trovare gli autovettori, prendiamo il caso di $k=2$:

$(A-2I) ((x),(y),(z)) =0$

$( ( 0, 1 , 0 ),( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 0) )((x),(y),(z)) =0 $

$( ( 1, 1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0) )((x),(y),(z)) =0

hArr { ( x=-z),( y=0 ),( AA z in RR ):} hArr z((-1),(0),(1)) $

[Danying]

"Magma":

$det( ( 2 -k, 1 , 0 ),( 1 , 3-k , 1 ),( 0 , 1 , 2 -k) ) $

Per trovare gli autovalori, prendiamo il caso di $k=2$:

$(A-2I) ((x),(y),(z)) =0$

$( ( 0, 1 , 0 ),( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 0) )((x),(y),(z)) =0 $

$( ( 1, 1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0) )((x),(y),(z)) =0

hArr { ( x=-z),( y=0 ),( AA z in RR ):} hArr z((-1),(0),(1)) $

Ciao Magma ;
grazie per la chiarissima delucidazione di questo post;
Penso ci sia un errore di battitura... volevi scrivere Autovettori ;