Autovalori e matrice associata

[claudioclas]

sia A la matrice:
1 0 1
0 1 -1
1 -1 0

avendo trovato gli autovalori -1, 1, 2
per
l=-1
ho trovato la S(-1)= ( k (1, 1, 0) / K appartiene ad R )

mi domando poichè l'autovettore non deve essere mai nullo non dovrebbe essere che:
k appartiene ad R - (0)?



inoltre data la stessa matrice A e considerendo il sistema omogeneo associato, si ha che l'unica soluzione è il vettore nullo
ora la dimensione e lo spazio vettoriale delle soluzioni del sistema sono rispettivamente

S=((0,0,0)) e la dimensione è zero
ho scritto bene o c'è qualche errore di forma?


infine, e vi chiedo di sopportarmi,
si calcoli il nucleo dell'applicazione lineare associata ad A, si indichi il codominio e la sua dimensione. questa parte proprio non la so fare....qualcuno mi aiuti per favore

[achille.lauro1]

Spettro della matrice A su \(\displaystyle R \) è eguale (-1, 1, 2).
Autospazio della matrice A relativo all' autovalore -1 è generato dal vettore di componenti (1, 1, 0),
con ogni AUTOSPAZIO della matrice A relativo a ciascuno degli autovalori,
sottoinsieme di \(\displaystyle R^3 \) costituito dal VETTORE NULLO e dagli autovettori relativi all' autovalore considerato.
Se sola soluzione del sistema lineare omogeneo di cui A è matrice, è il vettore nullo:
\(\displaystyle Ker f_A = (0)\),
con \(\displaystyle dim Ker f_A = 0 \).
Occorre considerare quanto descritto con il 'Teorema del rango' o 'Teorema della dimensione':
\(\displaystyle rg (f_A) = dim Im(f_A) = dim Dom(f_A) - dim (Ker f_A)\).
Essendo \(\displaystyle f_A \) definita su \(\displaystyle R^3 \) con \(\displaystyle dim Ker f_A = 0 \)...
Si noti di aver determinato 3 autovalori distinti,...
relativi a 3 autospazi distinti (sottospazi vettoriali di \(\displaystyle R^3 \) \(\displaystyle f_A - invarianti\) e massimali rispetto all' induzione di un' omotetia da parte di \(\displaystyle f_A \)),
di dimensione 1 (molteplicità geometrica dell' autovalore considerato \(\displaystyle \leq \) molteplicità algebrica del medesimo = 1),
donde, \(\displaystyle Cod (f_A) \) è proprio di dimensione 3.
Avendosi \(\displaystyle g(f_A, \lambda) = a(f_A, \lambda)\) per ogni autovalore \(\displaystyle \lambda \)di \(\displaystyle S(f_A) \), spettro interamente contenuto in \(\displaystyle R \),
\(\displaystyle f_A \), ovvero, A, sono diagonalizzabili.