Autovalori e Matrice
Ciao a tutti!
ho una domanda importante da porvi:
ho una matrice 3x3.
Questa matrice inizialmente non è ne' triangolare superiore e ne' triangolare inferiore.
E' possibile ridurla a scalini, e non appena ottengo che sia triangolare superiore/inferiore dire che gli autovalori sono gli elementi situtati sulla diagonale della matrice ridotta a scala?
Oppure non va bene?
Grazie mille a tutti!
ho una domanda importante da porvi:
ho una matrice 3x3.
Questa matrice inizialmente non è ne' triangolare superiore e ne' triangolare inferiore.
E' possibile ridurla a scalini, e non appena ottengo che sia triangolare superiore/inferiore dire che gli autovalori sono gli elementi situtati sulla diagonale della matrice ridotta a scala?
Oppure non va bene?
Grazie mille a tutti!
Risposte
Va bene, ma ti conviene fare tutti quei conti?
Concordo con la visione di Mrhaha, è sempre più veloce come passaggio la diagonalizzazione piuttosto che la riduzione a gradini, eccetto che in casi in cui è lampante la soluzione.
NON va bene assolutamente, pensateci due volte prima di confondere le idee alla gente, ragazzi. La riduzione a gradini con l'algoritmo di Gauss NON va affatto d'accordo con la teoria spettrale (autovalori e autovettori). Vedere:
post363819.html#p363819
post363819.html#p363819
"dissonance":
NON va bene assolutamente, pensateci due volte prima di confondere le idee alla gente, ragazzi. La riduzione a gradini con l'algoritmo di Gauss NON va affatto d'accordo con la teoria spettrale (autovalori e autovettori). Vedere:
post363819.html#p363819
Ah ma quindi non è vero che posso prendere gli elementi della diagonale della matrice ridotta??
Perchè effettivamente io sono anche andato da un dottorando in matematica a chiedere informazioni, e lui mi ha detto che il procedimento corretto si fa prendendo gli elementi della diagonale della matrice ridotta, e che quindi è inutile calcolare il det(A - XI) ...
Quindi è per questo motivo che mi vengono valori diversi???
Perchè tipo, gli elementi della mia diagonale sono 0,0,1
invece le soluzioni trovate tramite il polinomio caratteristico sono 0,0,3 e non mi capacitavo di questa cosa dato che ho controllato mille volte i calcoli.
Devo supporre che il metodo del determinante sia quello corretto, giusto?
Cacchio.... Scusate ragazzi!
Mamma mia che figuraccia!
Mamma mia che figuraccia!
Che l'algoritmo di Gauß non mandi in una matrice simile è semplice da mostrare.
Le operazioni dell'algoritmo di Gauß sono equivalenti a moltiplicare la matrice di partenza per una particolare matrice triangolare inferiore \(\displaystyle L^{-1} \) . Il risultato è una matrice triangolare superiore in quanto l'algoritmo sfrutta la decomposizione della matrice di partenza come prodotto di una matrice trangolare inferiore e di una superiore. In generale in realtà dovrei aggiungerci una matrice di permutazione ma per gli scopi attuali direi che è trascurabile.
D'altra parte la matrice $U$ finale del processo è uguale a $L^{-1}A$ e quindi non è simile ad $A$. Anche se la matrice di partenza potesse essere mandata in una matrice simile triangolare superiore questo non viene fatto con l'algoritmo di Gauß. Infatti gli algoritmi numerici per trovare gli autovalori non utilizzano la decomposizione LU (ma altri tipi di decomposizioni).
[edit] ho tolto una cosa perché rifacendo i calcoli non sono più sicuro dell'ultima cosa che ho scritto. In particolare penso che se trovi una matrice triangolare superiore simile alla matrice allora tu possa trovare gli autovalori con lei. D'altra parte non tutte le matrici sono simili ad una matrice triangolare (quelli reali almeno) e questa decomposizione non è semplice (ma equivalente ai metodi numerici per calcolare gli autovalori).
In fin dei conti penso che l'autore della discussione abbia semplicemente frainteso a quale matrice triangolare l'amico di riferisse
Le operazioni dell'algoritmo di Gauß sono equivalenti a moltiplicare la matrice di partenza per una particolare matrice triangolare inferiore \(\displaystyle L^{-1} \) . Il risultato è una matrice triangolare superiore in quanto l'algoritmo sfrutta la decomposizione della matrice di partenza come prodotto di una matrice trangolare inferiore e di una superiore. In generale in realtà dovrei aggiungerci una matrice di permutazione ma per gli scopi attuali direi che è trascurabile.
D'altra parte la matrice $U$ finale del processo è uguale a $L^{-1}A$ e quindi non è simile ad $A$. Anche se la matrice di partenza potesse essere mandata in una matrice simile triangolare superiore questo non viene fatto con l'algoritmo di Gauß. Infatti gli algoritmi numerici per trovare gli autovalori non utilizzano la decomposizione LU (ma altri tipi di decomposizioni).
[edit] ho tolto una cosa perché rifacendo i calcoli non sono più sicuro dell'ultima cosa che ho scritto. In particolare penso che se trovi una matrice triangolare superiore simile alla matrice allora tu possa trovare gli autovalori con lei. D'altra parte non tutte le matrici sono simili ad una matrice triangolare (quelli reali almeno) e questa decomposizione non è semplice (ma equivalente ai metodi numerici per calcolare gli autovalori).
In fin dei conti penso che l'autore della discussione abbia semplicemente frainteso a quale matrice triangolare l'amico di riferisse
"dissonance":
NON va bene assolutamente, pensateci due volte prima di confondere le idee alla gente, ragazzi. La riduzione a gradini con l'algoritmo di Gauss NON va affatto d'accordo con la teoria spettrale (autovalori e autovettori). Vedere:
post363819.html#p363819
Rispondere frettolosamente nuoce gravemente all'intelligenza. Chiedo venia per il misfatto
Ciò che posso utilizzare a discolpa mia e di Mrhaha è che abbiam pensato al determinante, frullando il tutto con la diagonalizzazione. 
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