Autovalori e diagonalizzazione
A = $ ( ( 0 , 0 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 12 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 4 , 0 , 0 ) ) $ dire quali sono gli autovalori di A.
Io ho scambiato le righe in modo da avere la matrice $ ( ( 12 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 4 , 0 , 0 ), ( 0 , 0 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 )) $ e quindi i suoi autovalori sono 12-lambda, 4-lambda, 3-lambda, 1-lambda. E' giusto fatto cosi?La matrice mi risulta non diagonalizzabile, giusto?
Io ho scambiato le righe in modo da avere la matrice $ ( ( 12 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 4 , 0 , 0 ), ( 0 , 0 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 )) $ e quindi i suoi autovalori sono 12-lambda, 4-lambda, 3-lambda, 1-lambda. E' giusto fatto cosi?La matrice mi risulta non diagonalizzabile, giusto?
Risposte
La matrice $A$ non la devi toccare. Poi quello che mi sorprende, ammesso che tu possa scambiare le righe, ma come fai a dire che l'ultima matrice non è diagonalizzabile? A parte i 4 autovalori distinti, la matrice stessa è già diagonale. La vuoi ancora di più diagonale di come si presenta!
Ripeto devi lavorare sulla matrice di partenza.
Ripeto devi lavorare sulla matrice di partenza.
e quindi gli autovalori della matrice di partenza quali sono?
"dennis87":
e quindi gli autovalori della matrice di partenza quali sono?
Prova a dare qualche indicazione sul calcolo. Devi determinare il polinomio caratteristico.
io so che devo fare A-tI), dove tI è la matrice identità con tutte t sulla diagonale, ma la mia matrice originale, ha tutti 0 sulla diagonale...
$p(\lambda)=|((0,0,3,0),(0,0,0,1),(12,0,0,0),(0,4,0,0))-\lambda((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))|$
$=|((0,0,3,0),(0,0,0,1),(12,0,0,0),(0,4,0,0))-((\lambda,0,0,0),(0,\lambda,0,0),(0,0,\lambda,0),(0,0,0,\lambda))|$
$=|(0-\lambda,0,3,0),(0,0-\lambda,0,1),(12,0,0-\lambda,0),(0,4,0,0-\lambda)|$=$|(-\lambda,0,3,0),(0,-\lambda,0,1),(12,0,-\lambda,0),(0,4,0,-\lambda)|$
$=\ldots$
$=|((0,0,3,0),(0,0,0,1),(12,0,0,0),(0,4,0,0))-((\lambda,0,0,0),(0,\lambda,0,0),(0,0,\lambda,0),(0,0,0,\lambda))|$
$=|(0-\lambda,0,3,0),(0,0-\lambda,0,1),(12,0,0-\lambda,0),(0,4,0,0-\lambda)|$=$|(-\lambda,0,3,0),(0,-\lambda,0,1),(12,0,-\lambda,0),(0,4,0,-\lambda)|$
$=\ldots$
e quindi l'autovalore è -lambda con molteplicità algebrica 4?
Bisogna ora calcolare quel determinante di ordine 4, puoi utilizzare la regola di Laplace e sviluppi secondo la terza colonna.
Vedi che il polinomio caratteristico in questo caso è un polinomio in $\lambda$ di $4°$ grado, gli zeri del polinomio caratteristico sono gli autovalori.
Vedi che il polinomio caratteristico in questo caso è un polinomio in $\lambda$ di $4°$ grado, gli zeri del polinomio caratteristico sono gli autovalori.
dennsi87, scusa se mi permetto questo consiglio: ho visto dai topic che hai aperto (questo e quello sul sottospazio) che vai in confusione su concetti base, quindi fossi in te mi andrei a rivedere bene la teoria prima di buttarmi sugli esercizi.
Ripeto, il mio è solo un consiglio, non prenderla sul personale
Ripeto, il mio è solo un consiglio, non prenderla sul personale
Comunque per quanto riguarda il polinomio caratteristico, qua trovi anche gli esempi per capire come trovare gli autovalori (in particolare qua sono riportati per le matrici 2x2 e 3x3, ma ragionando in modo analogo puoi estendere il procedimento a quelle nxn)
http://it.wikipedia.org/wiki/Polinomio_caratteristico
http://it.wikipedia.org/wiki/Polinomio_caratteristico
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