Autovalori e diagonalizzabilità

[BRN1]

Ciao a tutti, ho bisogno che qualcuno mi corregga questo esercizio:

Sia data la matrice

$ A_k=( ( 10 , 0 , -7 ),( k-4 , 3 , 4 ),( 8 , 0 , -5 ) ) $

a) Discutere la diagonalizzabilità di $A_k$, al variare di $k$ in $RR$.

calcolo $det(A_K-lambdaI)=det( ( 10-lambda , 0 , -7 ),( k-4 , 3-lambda , 4 ),( 8 , 0 , -5-lambda ) )$

ottenendo $(3-lambda)(lambda-3)(lambda-2)$
Qui sono indeciso se dire che ho $lambda_1=3 rArr m.a=2 ; lambda_2=2 rArr m.a.=2$, oppure
$lambda_1=3 rArr m.a=1 ; lambda_2=3 rArr m.a.=1; lambda_2=2 rArr m.a.=2$.
Nel primo caso, devo studiare $m.g.$ per $lambda=3$:

$( ( 7 , 0 , -7 ),( k-4 , 0 , 4 ),( 8 , 0 , -8 ) ) rArr ( ( 7 , 0 , -7 ),( 0 , 0 , k ),( 0 , 0 , 0 ) )$

$rg(A_k)=2$ per ogni $K!=0$ $rArr$ $dim(ker(A_k-3I))=3-2=1=m.g.!=m.a.$
$rg(A_k)=1$ per $K=0$ $rArr$ $dim(ker(A_k-3I))=3-1=2=m.g.=m.a.$
quindi $A_k$ risulterebbe diagonalizzabile solo per $k=0$

Nel secondo deovrei verificare per quali $k$ ottengo veramente $m.g.=1$ per tutti gli autovalori. (ometto i passaggi per non appesantire troppo il post), ottenendo:
per $lambda=3$
$rg(A_k)=2$ per ogni $K!=0$ $rArr$ $dim(ker(A_k-3I))=3-2=1=m.g.=m.a.$
$rg(A_k)=1$ per $K=0$ $rArr$ $dim(ker(A_k-3I)=3-1=2=m.g.!=m.a.$
per $lambda=2$
$rg(A_k)=2$ per ogni $K$ $rArr$ $dim(ker(A_k-3I))=3-2=1=m.g.=m.a.$
quindi $A_k$ risulterebbe diagonalizzabile solo per $k!=0$
Quale delle due ipotesi è corretta? Il dubbio mi viene per via dei successivi punti dell'esercizio.

b) Trovare gli autovettori di $A_2$.

$det( ( 10-lambda , 0 , -7 ),( -2 , 3-lambda , 4 ),( 8 , 0 , -5-lambda ) )=(3-lambda)(lambda-3)(lambda-2)$

quindi per $lambda=2$:

$( ( 8 , 0 , -7 ),( -2 , 1 , 4 ),( 8 , 0 , -7 ) ) rArr ( ( 8 , 0 , -7 ),( 0 , 1 , 9/4 ),( 0 , 0 , 0 ) ) rArr { ( x=7/8s),( y=-9/4s ),( z=s ):}$

il relativo autovettore è $( ( 7/8 ),( -9/4),( 1 ) )$

per $lambda=3$:

$( ( 7 , 0 , -7 ),( -2 , 0 , 4 ),( 8 , 0 , -8 ) ) rArr ( ( 8 , 0 , -7 ),( 0 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 0 ) ) rArr { ( x=0),( y=s ),( z=0 ):}$

il relativo autovettore è $( ( 0 ),( 1),( 0 ) )$

se $lambda=3$ ha $m.a.=1$ è corretto, ma se ha $m.a.=2$ come me lo spiego un solo autovettore???

c) Per un $k$ per cui $A_k$ è diagonalizzabile, trovare la matrice $B$ di cambio di base dalla base di autovettori alla base canonica.

A questo punto, indipendentemente se considero $k=0$ o $k!=0$, non saprei che autovettori utilizzare per via dei dubbi spiegati sopra...

d) Calcolare $B^-1$
indipendentemente se considero $k=0$ o $k!=0$, $B$ non mi risulta invertibile...

In genere questo tipo di esercizi sono in grado di svolgerli senza problemi, ma questo mi lascia perplesso.
Dov'è l'errore?

Grazie a chi risponde!

.BRN

[Sk_Anonymous]

$[lambda=2]$ ha molteplicità algebrica $[1]$. Quindi, anche la sua molteplicità geometrica è $[1]$, non è necessario fare conti, si tratta di un noto teorema.

$[lambda=3]$ ha molteplicità algebrica $[2]$. La sua molteplicità geometrica è $[2]$ per $[k=0]$, è $[1]$ per $[k!=0]$.

Tra parentesi, qui c'è una svista: non $((7,0,-7),(k-4,0,4),(8,0,-7))$ ma $((7,0,-7),(k-4,0,4),(8,0,-8))$.

Infine, per $[k=2]$, avendo $[lambda=3]$ molteplicità geometrica $[1]$, è naturale che tu ottenga un solo autovettore linearmente indipendente.

[BRN1]

Scusa il ritardo nella risposta ma, i mille impegni mi hanno tenuto occupato.

"speculor":$[lambda=2]$ ha molteplicità algebrica $[1]$. Quindi, anche la sua molteplicità geometrica è $[1]$, non è necessario fare conti, si tratta di un noto teorema.

Verissimo, questo lo so. E' solo che, dati i miei dubbi sull'esercizio, ho voluto essere scrupoloso.

"speculor":
$[lambda=3]$ ha molteplicità algebrica $[2]$. La sua molteplicità geometrica è $[2]$ per $[k=0]$, è $[1]$ per $[k!=0]$..

Ok, quindi mi confermi che è giusto dire che la matrice è diagonalizzabile solo per $k=0$.

"speculor":
Tra parentesi, qui c'è una svista: non $((7,0,-7),(k-4,0,4),(8,0,-7))$ ma $((7,0,-7),(k-4,0,4),(8,0,-8))$.

Ops! Hai ragione, mi deve essere scappato facendo un copia/incolla. Lo correggo subito.

"speculor":
Infine, per $[k=2]$, avendo $[lambda=3]$ molteplicità geometrica $[1]$, è naturale che tu ottenga un solo autovettore linearmente indipendente.

ma il polinomio caratteristico della matrice rimane sempre lo stesso indipendentemente dal valore di $k$, infatti per $k=2$:

$((10,0,-7),(-2,3,4),(8,0,-5))$

calcolo il determinante con Laplace rispetto la seconda colonna:

$det ((10-lambda,0,-7),(-2,3-lambda,4),(8,0,-5-lambda))=(3-lambda)(lambda-3)(lambda-2)$

quindi rimane $lambda=3$ con $m.a.=2$ e andando a cercare i relativi autovettori, ne trovo uno solo. E' questa cosa che mi manda in confusione.

Ma dove sbaglio?

.BRN

[Sk_Anonymous]

"BRN":
...quindi rimane $lambda=3$ con $m.a.=2$ e andando a cercare i relativi autovettori, ne trovo uno solo.

Onestamente, non comprendo il tuo stupore. La molteplicità geometrica di un autovalore, la dimensione dell'autospazio associato per intenderci, può essere minore della sua molteplicità algebrica. Nel tuo caso, la molteplicità algebrica vale $[2]$ e quella geometrica vale $[1]$, in quanto hai solo $[oo^1]$ soluzioni e un solo autovettore linearmente indipendente. Tra l'altro, proprio per questo motivo la matrice non risulta diagonalizzabile, non potendo determinare una base formata solamente da autovettori.

[BRN1]

"speculor":
La molteplicità geometrica di un autovalore, la dimensione dell'autospazio associato per intenderci, può essere minore della sua molteplicità algebrica.

Ecco tutto! Studiando le mie dispense del corso, questa cosa non l'avevo ben recepita anche perchè, fino ad ora, negli esercizi che ho svolto non sono mai capitato nel caso in cui per un dato autovalore si abbia $m.g.
Grazie mille!

Per copletezza rispondo anche agli ultimi due punti dell'esercizio.

c) Per un $k$ per cui $A_k$ è diagonalizzabile, trovare la matrice $B$ di cambio di base dalla base di autovettori alla base canonica.

Dato che la matrice è diagonalizzabile solo per $k=0$, per questo valore ottengo:
per $lambda=3$

$ ( ( 7 , 0 , -7 ),( -4 , 0 , 4 ),( 8 , 0 , -8 ) ) rArr { ( x=t ),( y=s ),( z=t ):} rArr ( ( x ) , ( y ) , ( z ) )=s( ( 0 ) , ( 1 ), ( 0 ) )+t( ( 1 ) , ( 0 ) , ( 1 ) ) $

per $lambda=2$

$ ( ( 8 , 0 , -7 ),( -4 , 1 , 4 ),( 8 , 0 , -7 ) ) rArr { ( x=7/8t ),( y=1/2t ),( z=t ):} rArr ( ( x ) , ( y ) , ( z ) )=t( ( 7/8 ) , ( 1/2 ), ( 1 ) ) $

La matrice le cui colonne sono gli autovettori trovati, costituisce la matrice di cambio di base dalla base di autovettori alla case canonica in $RR^3$:

$B=( ( 0 , 1 , 7/8 ),( 1 , 0 , 1/2 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $

d) Calcolare $ B^-1 $

$B^-1=( ( 8/2 , 1 , -8/2 ),( 8 , 0 , -7 ),( -8 , 0 , 8 ) ) $

.BRN