Autovalori e autovettori matrice e Polinomio minimo
Salve a tutti. . Sto studiando controlli automatici e chi conosce la materia sa che molte cose si basano sui concetti di algebra lineare di autovettori, autovalori e molte altre cose. Purtroppo ho fatto geometria e algebra lineare quasi 3 anni fa e non ricordo tutto benissimo.
So che gli autovalori di una matrice n*n sono le soluzioni del polinomio caratteristico dato da $det(A-lambda*I)$.
Questi autovalori possono essere reali, nel caso in cui i coefficienti del pol. car. sono reali, o complessi nell'altro caso. Inoltre essi possono essere distinti oppure multipli, quindi ogni autovalore con la sua molteplicità algebrica $m_a(lambda_i)$. La somma delle molteplicità algebriche di tutti gli autovalori è uguale a n, ossia il grado del polinomio. Gli autovettori, invece, sono i vettori associati agli autovalori. Essi fanno parte di uno spazio, chiamato spazio degli autovettori relativi all'autovalore $lambda_i$ e la dimensione di questo spazio è la molteplicità geometrica. Un endomorfismo è diagonalizzabile se per ogni autovalore si ha che la molt algebrica è uguale a quella geometrica e il polinomio si decompone interamente nel campo K. Infine gli autovettori si trovano risolvendo l'equazione $(A-lambda_i*I)*x=0$ . Questo è tutto quello che ricordo a riguardo. E' corretto quello che ricordo?
Comunque quello che non capisco è :
1) Nel libro si parla di polinomio minimo della matrice A. Ho capito che il polinomio minimo è quello di minor grado tra tutti quelli che rendono l'equazione nulla sostituendo all'incognita la matrice A. Dopo si dice che si calcola come il massimo comune divisore della matrice $(A-lambda*I)^a$ e dividendo il polinomio caratteristico proprio per questa matrice. Da dove esce fuori quella formula? Cosa rappresenta? Purtroppo non riesco a visualizzare tutto il concetto.
2) Nel capitolo successivo si parla di calcolo della matrice di transizione di stato che è uguale a $(s*I - A)^(-1)$ che viene posta ancora uguale a $[(s*I - A)^a ]/(delta(s))= (P(s)) / (delta(s))$ dove $delta(s)$ è il polinomio caratteristico della matrice A. Invece per quanto riguarda P(s) lo pone uguale a $P(s)= P_(n-1)*s^(n-1) + ... +P_0$ dove le $P_i(s)$ sono matrici di ordine n*n. Da dove deriva questa formula? Cosa rappresenta di preciso il polinomio P(s)? Perchè è di grado n-1?
So che gli autovalori di una matrice n*n sono le soluzioni del polinomio caratteristico dato da $det(A-lambda*I)$.
Questi autovalori possono essere reali, nel caso in cui i coefficienti del pol. car. sono reali, o complessi nell'altro caso. Inoltre essi possono essere distinti oppure multipli, quindi ogni autovalore con la sua molteplicità algebrica $m_a(lambda_i)$. La somma delle molteplicità algebriche di tutti gli autovalori è uguale a n, ossia il grado del polinomio. Gli autovettori, invece, sono i vettori associati agli autovalori. Essi fanno parte di uno spazio, chiamato spazio degli autovettori relativi all'autovalore $lambda_i$ e la dimensione di questo spazio è la molteplicità geometrica. Un endomorfismo è diagonalizzabile se per ogni autovalore si ha che la molt algebrica è uguale a quella geometrica e il polinomio si decompone interamente nel campo K. Infine gli autovettori si trovano risolvendo l'equazione $(A-lambda_i*I)*x=0$ . Questo è tutto quello che ricordo a riguardo. E' corretto quello che ricordo?
Comunque quello che non capisco è :
1) Nel libro si parla di polinomio minimo della matrice A. Ho capito che il polinomio minimo è quello di minor grado tra tutti quelli che rendono l'equazione nulla sostituendo all'incognita la matrice A. Dopo si dice che si calcola come il massimo comune divisore della matrice $(A-lambda*I)^a$ e dividendo il polinomio caratteristico proprio per questa matrice. Da dove esce fuori quella formula? Cosa rappresenta? Purtroppo non riesco a visualizzare tutto il concetto.
2) Nel capitolo successivo si parla di calcolo della matrice di transizione di stato che è uguale a $(s*I - A)^(-1)$ che viene posta ancora uguale a $[(s*I - A)^a ]/(delta(s))= (P(s)) / (delta(s))$ dove $delta(s)$ è il polinomio caratteristico della matrice A. Invece per quanto riguarda P(s) lo pone uguale a $P(s)= P_(n-1)*s^(n-1) + ... +P_0$ dove le $P_i(s)$ sono matrici di ordine n*n. Da dove deriva questa formula? Cosa rappresenta di preciso il polinomio P(s)? Perchè è di grado n-1?
Risposte
UP 
Ragazzi, non c'è nessunoc he può aiutarmi? 
E' che il tuo primo post è troppo lungo e faticoso da leggere. Prova a mettere in spoiler o a cancellare le cose non essenziali e cerca di essere più sintetico quando poni domande. Altra cosa che aiuta molto è porre una domanda alla volta.
Ho eliminato qualche pezzo per ridurre il post, ma più di così non posso fare, visto che è lì tutto il succo del discorso 
Resto in attesa di risposte ...
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UP
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