Autovalori e autovettori di una matrice con parametro k

[Antonio015]

Devo svolgere il seguente esercizio:

<< Determinare autovalori e autovettori della matrice A = $((-k,1,-1),(0,1-k,-1),(1,0,2))$
discutendone la regolarità al variare di k reale >>



Ho cercato di risolvere l'esercizio impostando:

$A - lI = 0$ $->$ $((-k-l,1,-1),(0,1-k-l,-1),(1,0,2-l)) = 0$

e sviluppando il determinante arrivo al risultato:

$(1-k-l)[(-k-l)(2-l)+1]-1=0$


Da qui non riesco più a continuare. Cosa mi suggerite di fare per determinare ciò che mi è stato richiesto nel titolo? Non so, ma la presenza di questi parametri k mi ha messo un pò in difficoltà...

[Antonio015]

Ho sbagliato sezione del forum...
ho ripostato il thread nella sezione "Analisi matematica"

[Gatto891]

La sezione giusta è questa, quello in analisi matematica lo chiudo.

[Antonio015]

Ok

[dissonance]

@Antonio: Tra l'altro il topic originale era in Analisi matematica, poi sono stato io a spostarlo qui, non sei stato tu a sbagliare sezione. Scusami, avrei dovuto lasciare una riga per avvisare dello spostamento.

[Fox4]

Il senso è che devio guardare come gli autovalori variano al variare di [tex]k[/tex], che per te è un parametro, è come se fosse noto mentre svolgi l'esercizio.
Dopo, una volta trovati gli autovalori discuti le espressioni ottenute in funzione di [tex]k[/tex]...

inizia col trovare gli [tex]l[/tex] che annullano il polinomio caratteristico...

[Antonio015]

I [tex]l[/tex] che annullano il polinomio caratteristico sono:

$l_1 = k$
$l_2 = -k$
$l_3 = 2$

Dopodichè per ciascuna [tex]l[/tex] ho ricavato i rispetti valori di [tex]k[/tex] che assumono all'interno del determinante [tex](A-l_1I)x[/tex] affinchè esso si annulli

Quindi, per ciascun valore di k ricavato, ho ricavato, rispettivamente al valore di [tex]l[/tex] corrispondente, l'autovalore [tex]x[/tex]

I risultati dovrebbero essere:

$x_1_(1) = (-2,1,1)$
$x_1_(2) = (-1,-1,1)$
$x_1_(3) = (-1/2,-1/2,1)$

$x_2 = (x,y,z)$ per $AA k$

$x_3 = (0,1,1)$

Spero di aver fatto bene.
Grazie per il suggerimento