Autovalori e autovettori

[mapolluz]

Un esercizio recita:
"Determinare, se possibile, una base di R3 rispetto alla quale la matrice di f sia diagonale"
In pratica devo trovare la base formata dagli autovalori o quella degli autovalori?

[Ernesto011]

Trovi gli autovalori. Se un autovalore è complesso allora la matrice non è diagonalizzabile e l'esercizio è concluso, per cui supponiamo che siano tutti reali.
Ora calcoli gli autovettori,fai le dovute verifiche riguardo la molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica.
Supponiamo che tutte le molteplicità algebriche siano uguali alle molteplicità geometriche,altrimenti la matrice non è diagonalizzabile e l'esercizio è concluso.
Ora , e solo ora, puoi affermare che la matrice è diagonalizzabile e che gli autovettori formano una base che diagonalizza la matrice.

[mapolluz]

Quindi un'ipotetica matrice A diagonalizzabile, formata dalle immagini dei vettori di partenza, è diagonale rispetto alla matrice formata dai suoi autovettori?

[Ernesto011]

No,la matrice è diagonale se prendo come base di $RR^3$ i suoi autovettori.

[anto_zoolander]

Sia $T:V->V$ un operatore lineare.
Diremo che $T$ è diagonalizzabile se esiste una base di $V$ rispetto alla quale la matrice che rappresenta $T$ è una matrice diagonale.

Dunque in base a questo devi trovare una base di autovettori.

Per esempio l'operatore $T:V->V$ tale che $T(v)=v, forallv inV$ è diagonalizzabile e qualsiasi base diagonalizza $T$

[mapolluz]

Perfetto! Grazie mille dell'aiuto