Autovalori e autofunzioni di operatori

[qadesh1]

Salve a tutti posto questo esercizio e vorrei sapere se lo risolvo in maniera corretta:

Dato l'insieme delle funzioni a quadrato sommabile e periodiche nell'intervallo $[0,2 pi]$ e gli operatori:

$P = -i d/dx$ ; $H = -i alpha d^3 / dx^3 - beta d^2 / dx^2$
con $alpha$ e $beta$ reali:

1)Dimostrare che $P$ ,$H$ ammettono un set di autofunzioni comune e determinare questo set.
2)Determinare autovalori di $P$ ,$H$. Per quali valori di $alpha$ lo spettro di $H$ sarà degenere?

Allora per quanto riguarda il primo punto direi che è sufficiente dimostrare che gli operatori commutino: $[P,H]=0$. E si può facilmente notare che essi commutano per cui ammettono un set di autofunzioni comune ad entrambi.

Per quanto riguarda il secondo punto determino prima gli autovalori di $P$:
$-i (df)/(dx) = lambda f$

$-i (df)/(f )= lambda x$

$ln f = i lambda x +c$

$f(x)= e^(i lambda x +c) = A e^(i lambda x)$ con $A= e^c$.

Siccome la condizione è che le funzioni siano periodiche:
$e^(i lambda x) = e^(i lambda(x +2 pi))= e^(i lambda x) e^(i lambda 2pi)$

ne deriva che $lambda = 0,1,2,3,4....$ (ovviamente anche i negativi).
Inoltre ,poichè deve valere la condizione di normalizzazione delle funzione a quadrato sommabili allora: $A=1/(sqrt 2pi)$
quindi abbiamo che le l'autofunzioni dell'operatore $P$ sono:

$f(x) = 1/(sqrt 2pi) e^(i lambda x)$

Per quanto riguarda gli autovalori di $H$ so che ,siccome $H$ è una funzione di $P$, allora gli autovettori dell'uno sono gli autovettori del secondo,e dati gli autovali di $P$ gli autovalori di $H$ sono $H(lambda)$....e quindi ?come li ricavo?
Inoltre l'ultimo punto proprio non riesco a capire come si possa svolgere...

[Sk_Anonymous]

Puoi procedere in questo modo:

$[H=-alphaP^3+betaP^2] rarr [lambda_H=-alphalambda^3+betalambda^2] ^^ [lambda=...,-2,-1,0,+1,+2,...]$

$[-alpham^3+betam^2=-alphan^3+betan^2] rarr$

$rarr -alpha(m^3-n^3)+beta(m^2-n^2)=0 rarr$

$rarr -alpha(m-n)(m^2+mn+n^2)+beta(m-n)(m+n)=0 rarr$

$rarr (m-n)[-alpha(m^2+mn+n^2)+beta(m+n)]=0 rarr$

$rarr -alpha(m^2+mn+n^2)+beta(m+n)=0 rarr$

$rarr [alpha=(beta(m+n))/(m^2+mn+n^2)]$

Ora, non rimane che discutere la soluzione così determinata.

[qadesh1]

grazie per la risposta.
Allora quindi gli autovalori di $H$ sono semplicemente:$lambda_H =- alpha lambda^3 + beta lambda^2 $ per lambda pari a tutti i numeri interi positivi o negativi.Perfetto.
Invece non ho ben capito cosa..non basta fermarsi all'ultimo passaggio?cosa ci sarebbe da discutere?
quando $alpha$ è pari a quell'espressione(quella dell'ultimo passaggio) allora lo spettro di $H$ è degenere ..non è sufficiente?

[Sk_Anonymous]

A voler essere approssimativi e senza eseguire conti, si poteva dire che per $[alpha=0]$ gli autovalori sono banalmente degeneri per $[m=-n]$, del resto $[lambda_H=betalambda^2]$ è una funzione pari del suo argomento. Tuttavia, discutendo la soluzione determinata in precedenza, $[alpha=(beta(m+n))/(m^2+mn+n^2)]$, mentre per $[m=-n]$ si ritrova il risultato di cui sopra, si può notare che esiste sempre un valore di $[alpha]$ dipendente da $[beta]$ per cui si ha degenerazione in corrispondenza di due particolari valori di $[m]$ e di $[n]$ rispettivamente. In ogni modo, nonostante questa sia una considerazione aggiuntiva, non è del tutto esaustiva in quanto bisognerebbe dimostrare che non esistono coppie $(m,n)$ diverse da quella ottenuta scambiando i due interi, del resto $[(m+n)/(m^2+mn+n^2)]$ è una funzione simmetrica dei suoi argomenti, tali che $[(m+n)/(m^2+mn+n^2)]$ assuma lo stesso valore. Certo, se il docente si accontenta di determinare quella soluzione senza riflettere sul suo significato, allora queste considerazioni possono essere tranquillamente evitate.