Autovalori di una matrice particolare

[mattiabianchiok]

Salve a tutti!
Ho una matrice A quadrata di ordine n, costituita da soli 1, tranne che sulla diagonale. Gli elementi della diagonale sono tutti (n-1). A è quindi singolare (quindi ha un autovalore nullo). Voglio dimostrare che gli altri autovalori di A sono tutti=n.
Ho provato con l'eliminazione di Gauss: ottengo una matrice triangolare i cui valori sono proprio 0 e tutti n. Ma la triangolarizzazione non è una trasformazione lineare, giusto? Quindi altera gli autovalori. Boh

[dissonance]

Buh. Intanto scrivo la matrice:
\[
\begin{bmatrix} n-1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1& n-1 & \ldots & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots \\ 1 & 1 & \ldots & n-1 \end{bmatrix}\]

L'eliminazione di Gauss in effetti cambia gli autovalori. Mi ricordo di una vecchia discussione però dove qualcuno riusciva ad usarla per rispondere ad una domanda del genere.

L'ho trovata, è questa:
viewtopic.php?p=411265#p411265

In pratica se applichi simultaneamente la stessa operazione sulle righe e sulle colonne fai una trasformazione che preserva la segnatura della forma quadratica associata alla tua matrice. Non lo so se serve a qualcosa qui, ma probabilmente no.