Autovalori di una matrice con entrate unitarie
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano nel generalizzare un risultato:
Sia \(\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n,n}\). Quali sono gli autovalori di \(\displaystyle A \) se \(\displaystyle a_{ij} = 1 \).
Una matrice costituita solo da entrate unitarie insomma... Ho provato prima di tutto a calcolare gli autovalori nei casi più semplici:
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} \ \ \ \) \(\displaystyle \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 2 \)
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix} \ \ \ \) \(\displaystyle \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 3 \)
Mi viene da pensare che gli autovalori di una matrice quadrata di generica taglia siano \(\displaystyle \lambda_1 = 0 \ ,\ \lambda_2=n \).
Come generalizzo il seguente risultato? Ho sbagliato qualcosa? l'autovalore nullo andrebbe ripetuto più volte? Se si perché? noto che le calcolatrici online me lo segnano n-1 volte invece che una sola, ma calcolando dal polinomio caratteristico gli autovalori come capisco questa cosa? Grazie tante dell'aiuto!
Cordialmente Cristian
Sia \(\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n,n}\). Quali sono gli autovalori di \(\displaystyle A \) se \(\displaystyle a_{ij} = 1 \).
Una matrice costituita solo da entrate unitarie insomma... Ho provato prima di tutto a calcolare gli autovalori nei casi più semplici:
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} \ \ \ \) \(\displaystyle \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 2 \)
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix} \ \ \ \) \(\displaystyle \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 3 \)
Mi viene da pensare che gli autovalori di una matrice quadrata di generica taglia siano \(\displaystyle \lambda_1 = 0 \ ,\ \lambda_2=n \).
Come generalizzo il seguente risultato? Ho sbagliato qualcosa? l'autovalore nullo andrebbe ripetuto più volte? Se si perché? noto che le calcolatrici online me lo segnano n-1 volte invece che una sola, ma calcolando dal polinomio caratteristico gli autovalori come capisco questa cosa? Grazie tante dell'aiuto!
Cordialmente Cristian
Risposte
Se ci fai caso, detta \(1_n^n\in\mathbb{R}_n^n\) la matrice "tutti \(1\)" di ordine \(n\), il vettore \((\underbrace{1,\dotsc,1}_{n-\text{volte}})\) è un autovettore di autovalore \(n\); essendo pure una matrice di rango \(1\), hai che \(0\) ed \(n\) sono autovalori per essa.
Poi passi al calcolo delle molteplicità geometriche di tali autovalori e concludi che questi sono gli unici autovalori possibili.
Ti tornano i conti?
Poi passi al calcolo delle molteplicità geometriche di tali autovalori e concludi che questi sono gli unici autovalori possibili.
Ti tornano i conti?
Chiaro! Grazie tante
Armando è stato elegante!
Mi permetto solo di ricordarti un risultato che può tornare utilissimo per risolvere gli esercizi.
Ovvero che, la somma di tutti gli autovalori è pari alla traccia della matrice.
Dato che la matrice in questione ha rango 1, l'autovalore zero ha molteplicità algebrica (n-1) (la dimensione del kernel della matrice).
Il resto lo deduci da te.
Mi permetto solo di ricordarti un risultato che può tornare utilissimo per risolvere gli esercizi.
Ovvero che, la somma di tutti gli autovalori è pari alla traccia della matrice.
Dato che la matrice in questione ha rango 1, l'autovalore zero ha molteplicità algebrica (n-1) (la dimensione del kernel della matrice).
Il resto lo deduci da te.
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