Autovalori di una matrice 2x2 con coefficienti in $CC$

[Optimus Prime]

Ho trovato questo esercizio sul mio libro, e ho un dubbio riguardo al polinomio che dovrebbe saltare fuori:

Questa è la matrice a coefficienti in $CC$

$((1,1),(-1,1))$

e a me salta fuori:

$((1-x,1),(-1,1-x))$

Il mio polinomio quindi sarà:

$(1-x)^2-(-1)=$

$1-2x+x^2+1=$

$x^2-2x+2=$

e quindi applicando la formuletta ottengo che

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

E qui mi sorge il dubbio perchè la formula mi dice che la parabola non taglia l'asse delle x.. ho sbagliato qualcosa?

[_Tipper]

Fin qui va tutto bene, anche se potevi usare la formula ridotta, oppure osservare che $x^2 - 2x + 2 = 0 \implies (x - 1)^2 + 1 = 0 \implies x - 1 = \pm i\implies x_{1,2} = 1 \pm i$.

[Optimus Prime]

Ciao, grazie per avermi risposto anche sta volta,

"Tipper":Fin qui va tutto bene, anche se potevi usare la formula ridotta, oppure osservare che $x^2 - 2x + 2 = 0 \implies (x - 1)^2 + 1 = 0 \implies x - 1 = \pm i\implies x_{1,2} = 1 \pm i$.

Ma quindi continuando con il mio noioso metodo avrei ottenuto:

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2}$ ($sqrt{-4} = pm 2 $. ??)

$x = \frac{2 \pm \2}{2}$

e quindi i miei autovalori sarebbero 0 e 2,
Ma ora se provo a sostituire le mie soluzioni a $x^2-2x+2=$

$0^2-2*0+2= 2$

$2^2-2*2+2= 4-4+2= 2$

Mentre per i tuoi autovalori:

$(1+i)^2-2(1+i)+2= 1+ 2-1-2-2i+2= -2i+2 = 0$
$(1-i)^2-2(1-i)+2= 1-2i +i -2+2i+2= 1 + i$ ma se $(-i)^2= -i$ (ora che ho il dubbio) allora anche questa = 0

Ma scusa ma allora perchè a me non viene con il mio metodo?
Forse sbaglio sul fatto che considero
$ i = 1 $ ma
$(i)^2 = -1 = -i$
Forse però anche questo è sbagliato visto che non mi viene niente...

[Optimus Prime]

, Arghh... ora ho capito, molte grazie della risposta... (alla prossima )