Autovalori di una matrice $2x2$
Premetto che sto facendo un esercizio di meccanica razionale, sto studiando la stabilità dei punti di equilibrio, però dato che il dubbio è sul segno degli autovalori ho pensato di chiedere in questa sezione del forum.
La matrice in causa è:
$A=((-(m^2g^2)/k+2k, -k),(-k,k))$
La cosa che mi rende un pò perplessa a dire il vero è l'affermazione nelle soluzioni del proff:
"Poichè abbiamo che un elemento sulla diagonale principale è positivo, sicuramente un autovalore è positivo. "
Devo dire che l'esame di algebra lineare l'ho rimosso, ma questo in generale credo che non sia vero, forse in questo l'affermazione è vera perchè siamo in presenza di matrici simmetriche... Ma non saprei...
Sapreste aiutarmi a chiarire il dubbio e ricordarmi il pezzo di teoria che non ricordo.
Grazie a presto.
La matrice in causa è:
$A=((-(m^2g^2)/k+2k, -k),(-k,k))$
La cosa che mi rende un pò perplessa a dire il vero è l'affermazione nelle soluzioni del proff:
"Poichè abbiamo che un elemento sulla diagonale principale è positivo, sicuramente un autovalore è positivo. "
Devo dire che l'esame di algebra lineare l'ho rimosso, ma questo in generale credo che non sia vero, forse in questo l'affermazione è vera perchè siamo in presenza di matrici simmetriche... Ma non saprei...
Sapreste aiutarmi a chiarire il dubbio e ricordarmi il pezzo di teoria che non ricordo.
Grazie a presto.
Risposte
È legato al fatto che la successione $\{1, a_{ii}, detA\}$ presenta almeno 2 elementi positivi consecutivi e quindi non può essere definita negativa e le matrici simmetriche hanno sempre autovalori reali (è diagonalizzabile).
invece se era negativo?
ma c'erano delle condizioni particolari su $k$ oppure $k$ era soltanto un numero positivo?
solo positivo.
nel caso negativo non credo si possa utilizzare quel criterio quindi dovevi fare delle stime su $k$.
Vale la stessa cosa. Inizialmente sono rimasto un attimo bloccato perché quella parte non la ricordo benissimo.
Se uno è positivo e l'altro negativo il determinante è negativo ($a_{11}a_{22} - a_{12}^2$ è negativo se $a_{11}a_{22}$ è negativo) e quindi c'è un solo cambio di segno. Quindi, dato che il determinante è diverso da zero ci devono essere due autovalori uno positivo e l'altro negativo.
Se sono entrambi positivi o entrambi negativi penso che si possa utilizzare il fatto che la traccia è un invariante anche se non si può supporre che siano entrambi positivi o negativi (potrebbe anche esserci uno zero).
Se uno è positivo e l'altro negativo il determinante è negativo ($a_{11}a_{22} - a_{12}^2$ è negativo se $a_{11}a_{22}$ è negativo) e quindi c'è un solo cambio di segno. Quindi, dato che il determinante è diverso da zero ci devono essere due autovalori uno positivo e l'altro negativo.
Se sono entrambi positivi o entrambi negativi penso che si possa utilizzare il fatto che la traccia è un invariante anche se non si può supporre che siano entrambi positivi o negativi (potrebbe anche esserci uno zero).
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