Autovalori di una matrice
Ciao ragazzi,sto cercando di risolvere degli esercizi relativi agli autovalori ma mi sono bloccato quasi alla fine dell'esercizio..Chi mi aiuta?
Allora,ho la matrice:
A= [ 0 1 1 ]
1 0 1
1 1 0
- Il primo passaggio che faccio è quello di sottrarre λ alla diagonale principale della matrice A..Pertanto:
Aλ = [ 0-λ 1 1 ]
1 0-λ 1
1 1 0-λ
- Poi,calcolo il determinante della matrice Aλ.
|Aλ| = - λ^3 + 3λ + 2
Ed ecco il passaggio dove non ho capito come procedere...Ovvero,eguaglio il determinante = 0 e risolvo così l'equazione
-λ^3 + 3λ + 2 = 0
Gia sapendo che il numero di autovalori da trovare è 3 (per quale motivo?)
So che il primo autovalore λ1 = - 1 (Ha sostituito -1 al posto di λ,per quale motivo...?)
Allora,ho la matrice:
A= [ 0 1 1 ]
1 0 1
1 1 0
- Il primo passaggio che faccio è quello di sottrarre λ alla diagonale principale della matrice A..Pertanto:
Aλ = [ 0-λ 1 1 ]
1 0-λ 1
1 1 0-λ
- Poi,calcolo il determinante della matrice Aλ.
|Aλ| = - λ^3 + 3λ + 2
Ed ecco il passaggio dove non ho capito come procedere...Ovvero,eguaglio il determinante = 0 e risolvo così l'equazione
-λ^3 + 3λ + 2 = 0
Gia sapendo che il numero di autovalori da trovare è 3 (per quale motivo?)
So che il primo autovalore λ1 = - 1 (Ha sostituito -1 al posto di λ,per quale motivo...?)
Risposte
Ciao.
Presumo che la matrice $A$ sia data da
$A=((0,1,1),(1,0,1),(1,1,0))$
(si ottiene mettendo tra i due segni di dollaro l'espressione A=((0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)), come specificato nelle [formule][/formule])
La matrice di cui si calcola il determinante, per trovare gli autovalori, non è la matrice $lambdaA$, ma la matrice $A-lambdaI$ (calcolo effettivamente impostato).
Per ricavare il polinomio caratteristico fattorizzato, conveniva giocare con i raccoglimenti a fattor comune:
$|A-lambdaI|=|(-lambda,1,1),(1,-lambda,1),(1,1,-lambda)|=-lambda(lambda^2-1)-(-lambda-1)+(1+lambda)$
cioè
$|A-lambdaI|=-lambda(lambda-1)(lambda+1)+2(lambda+1)=(lambda+1)[2-(lambda-1)]=-(lambda+1)(lambda^2-lambda-2)$
...salvo miei errori di calcolo.
Saluti
Presumo che la matrice $A$ sia data da
$A=((0,1,1),(1,0,1),(1,1,0))$
(si ottiene mettendo tra i due segni di dollaro l'espressione A=((0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)), come specificato nelle [formule][/formule])
La matrice di cui si calcola il determinante, per trovare gli autovalori, non è la matrice $lambdaA$, ma la matrice $A-lambdaI$ (calcolo effettivamente impostato).
Per ricavare il polinomio caratteristico fattorizzato, conveniva giocare con i raccoglimenti a fattor comune:
$|A-lambdaI|=|(-lambda,1,1),(1,-lambda,1),(1,1,-lambda)|=-lambda(lambda^2-1)-(-lambda-1)+(1+lambda)$
cioè
$|A-lambdaI|=-lambda(lambda-1)(lambda+1)+2(lambda+1)=(lambda+1)[2-(lambda-1)]=-(lambda+1)(lambda^2-lambda-2)$
...salvo miei errori di calcolo.
Saluti
a occhio si vede facilmente che $-1$ è una soluzione di di $-lambda^3+3lambda+2=0$
ora puoi scrivere l'equazione come $(lambda+1)(-lambda^2+lambda+2)=0$
e trovare gli altri autovalori con la legge di annullamento del prodotto
ora puoi scrivere l'equazione come $(lambda+1)(-lambda^2+lambda+2)=0$
e trovare gli altri autovalori con la legge di annullamento del prodotto
"darakum":
Già sapendo che il numero di autovalori da trovare è 3 (per quale motivo?)
Gli autovalori per definizione sono gli zeri del polinomio caratteristico (che tra l'altro non possono essere maggiori dell'ordine della matrice).
"darakum":
So che il primo autovalore $lambda_1 = - 1$ (Ha sostituito $-1$ al posto di $lambda$, per quale motivo...?)
"quantunquemente":
a occhio si vede facilmente che $ -1 $ è una soluzione di di $ -lambda^3+3lambda+2=0 $
[...]
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