Autovalori di radici di matrici complesse
Sia $A$ una matrice complessa di dimensione $n \times n$. Se $A^4$ ha un autovalore $mu$, segue che $A$ ha un autovalore $lambda$ tale che $lambda^4=mu$?
Nei reali mi sembra che ciò sarebbe chiaramente falso. Penso ad esempio alla matrice $A = ((0, 1), (-1, 0))$, il cui polinomio caratteristico è $lambda^2 +1$, che non ammette radici reali. Invece $A^4 = I$, che certamente ammette l'autovalore reale $mu = 1$.
Nei complessi invece il polinomio caratteristico ammette sempre $n$ radici, non necessariamente distinte. $A$ avrà quindi un autovalore $lambda$, ed $A^4$ avrà autovalore $mu = lambda^4$. Tuttavia non riesco a dimostrare il viceversa, ovvero ciò che l'esercizio richiede.
Avreste dei teoremi da suggerire per completare questa dimostrazione?
Nei reali mi sembra che ciò sarebbe chiaramente falso. Penso ad esempio alla matrice $A = ((0, 1), (-1, 0))$, il cui polinomio caratteristico è $lambda^2 +1$, che non ammette radici reali. Invece $A^4 = I$, che certamente ammette l'autovalore reale $mu = 1$.
Nei complessi invece il polinomio caratteristico ammette sempre $n$ radici, non necessariamente distinte. $A$ avrà quindi un autovalore $lambda$, ed $A^4$ avrà autovalore $mu = lambda^4$. Tuttavia non riesco a dimostrare il viceversa, ovvero ciò che l'esercizio richiede.
Avreste dei teoremi da suggerire per completare questa dimostrazione?
Risposte
No, non "devi" svincolarti dalle matrici. Se preferisci vedere concretamente le applicazioni lineari, come matrici, va benissimo.
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