Autovalori di operatori autoaggiunti-Teor.Spettr.(Complesso)
Salve mi sfugge un particolare ,che però è il più importante del seguente teorema:
Se $A :X->X$ è un operatore autoaggiunto con $X$ spazio vettoriale complesso euclideo allora ogni suo autovalore è reale.
Sia $q$ un autovalore e $v$ l'autovettore corrispondente, allora:
$q*|v|^2 = (qv)v= A(v)v=vA(v)=v(qv)=q' |v|^2 $
con q' intendo che sia reale,ma non capisco da dove giunge fuori questa cosa.
Grazie per le risposte
Se $A :X->X$ è un operatore autoaggiunto con $X$ spazio vettoriale complesso euclideo allora ogni suo autovalore è reale.
Sia $q$ un autovalore e $v$ l'autovettore corrispondente, allora:
$q*|v|^2 = (qv)v= A(v)v=vA(v)=v(qv)=q' |v|^2 $
con q' intendo che sia reale,ma non capisco da dove giunge fuori questa cosa.
Grazie per le risposte
Risposte
Ciao.
Due cose:
1. la prima è solo un'osservazione: di solito, se lo spazio vettoriale è complesso, si preferisce l'aggettivo hermitiano (in luogo di euclideo).
2. Immagino tu volessi dire che ogni suo autovalore è "reale" (perchè l'espressione "autovalore autoaggiunto" non ha nessun significato).
La dimostrazione è esattamente quella che proponi tu: sicuramente un autovalore $lambda$ esiste (per il th. fondamentale dell'algebra il polinomio caratteristico avrà sicuramente radici in $CC$ che è un campo algebricamente chiuso).
Prendi un autovettore relativo a $lambda$, sia esso $v$. Allora $f(v)=lambdav$. Ma $f$ è un operatore autoaggiunto, per cui $f(v)*v=v*f(v)$ (con $*$ intendo il prodotto hermitiano standard). Da qui segue $lambda(v*v)=v*lambda*v$. (*)
Per una nota proprietà del prodotto hermitiano, si ha che $v*(lambda)*v=bar(lambda)v*v$ (dove $bar(lambda)$ indica il coniugato di $lambda$). Allora da (*) hai $lambdav*v=bar(lambda)v*v => (lambda - bar(lambda))v*v=0$. Ma un autovettore non è nullo, per cui $lambda=bar(lambda)$, cioè $lambda$ è reale (tutti e soli i numeri complessi che coincidono con il coniugato sono i numeri reali).
Più chiaro ora?
"edge":
Salve mi sfugge un particolare ,che però è il più importante del seguente teorema:
Se $A :X->X$ è un operatore autoaggiunto con $X$ spazio vettoriale complesso euclideo allora ogni suo autovalore è autoaggiunto.
Due cose:
1. la prima è solo un'osservazione: di solito, se lo spazio vettoriale è complesso, si preferisce l'aggettivo hermitiano (in luogo di euclideo).
2. Immagino tu volessi dire che ogni suo autovalore è "reale" (perchè l'espressione "autovalore autoaggiunto" non ha nessun significato).
La dimostrazione è esattamente quella che proponi tu: sicuramente un autovalore $lambda$ esiste (per il th. fondamentale dell'algebra il polinomio caratteristico avrà sicuramente radici in $CC$ che è un campo algebricamente chiuso).
Prendi un autovettore relativo a $lambda$, sia esso $v$. Allora $f(v)=lambdav$. Ma $f$ è un operatore autoaggiunto, per cui $f(v)*v=v*f(v)$ (con $*$ intendo il prodotto hermitiano standard). Da qui segue $lambda(v*v)=v*lambda*v$. (*)
Per una nota proprietà del prodotto hermitiano, si ha che $v*(lambda)*v=bar(lambda)v*v$ (dove $bar(lambda)$ indica il coniugato di $lambda$). Allora da (*) hai $lambdav*v=bar(lambda)v*v => (lambda - bar(lambda))v*v=0$. Ma un autovettore non è nullo, per cui $lambda=bar(lambda)$, cioè $lambda$ è reale (tutti e soli i numeri complessi che coincidono con il coniugato sono i numeri reali).
Più chiaro ora?
Direi di si,non conoscevo quella proprietò che mi faceva saltare tutto, sai linkarmi qualcosa a riguardo od aggiungere tu stesso qualcosa?
Ti ringrazio.
Ti ringrazio.
"edge":
Direi di si,non conoscevo quella proprietò che mi faceva saltare tutto, sai linkarmi qualcosa a riguardo od aggiungere tu stesso qualcosa?
Ti ringrazio.
Prego, figurati. Ti riferisci a questa proprietà: $x*(lambday)=barlambdax*y$, vero?
Be', diciamo che segue dalla definizione stessa di prodotto hermitiano standard. Guarda: prendi uno spazio vettoriale complesso, $V$. Ora considera la funzione [tex]\cdot: V \times V \to \mathbb{C}[/tex] che associa alla coppia $(x,y)$ il numero complesso $x*y=^tXbarY$ (dove con $X$ e $Y$ indico i vettori colonna delle componenti di $x$ e $y$ rispetto a una base ortonormale fissata di $V$). Quindi, analogamente - ma con una differenza - al prodotto scalare, il prodotto hermitiano si calcola facendo "trasposta di $X$ per $Y$ coniugata". Ok fin qui?
Se è chiaro, adesso sono solo conti: prendi $x$ e $y$ qualsiasi in $V$, e prendi un $lambda in CC$. Allora $(lambdax)*y=^t(lambdaX)barY=lambda^tXbarY=lambda(x*y)$.
Se invece il $lambda$ è in "mezzo" bisogna fare attenzione: $x*(lambday)=^tXbar(lambdaY)=^tXbarlambdabarY=barlambda(x*y)$.
Va bene adesso?
Mi raccomando, se hai ancora dubbi non tenerteli, fai un fischio e ne parliamo.
Un intervento "alla Gugo": io cambierei il titolo del topic. Un autovalore è di un operatore, non su un operatore. Quindi direi: "autovalori di operatori autoaggiunti".
Ho modificato il topic per aggiungere una domanda:
Circa il teorema spettrale nel caso complesso,verso la fine quando resta da dimostrare che $u,w1...wk$ formano una base per $X$ con $u,w1...wk$ ortogonali fra loro e quindi indipendenti per una proprietà degli operatori autoaggiunti.
Il problema nasce quando dice: $AA x in X$ vale : $x=Pu(x)+(x-Pu(x))$ quindi $x$ è somma di un multiplo di $u$ (la sua proiezione) e di $x-Pu(x)$ ortogonale ad u per il teorema della proiezione e di conseguenza appartentente a $W$.
Non avendo a portata di mano un testo(sono fuori casa) non ricordo il teorema della proiezione ne come è fatta questa di conseguenza non mi spiego le frasi sopra citate.
Se qualcuno di voi ha idee più chiare di me gliene sarei grato se mi ricordasse qualcosa.
Circa il teorema spettrale nel caso complesso,verso la fine quando resta da dimostrare che $u,w1...wk$ formano una base per $X$ con $u,w1...wk$ ortogonali fra loro e quindi indipendenti per una proprietà degli operatori autoaggiunti.
Il problema nasce quando dice: $AA x in X$ vale : $x=Pu(x)+(x-Pu(x))$ quindi $x$ è somma di un multiplo di $u$ (la sua proiezione) e di $x-Pu(x)$ ortogonale ad u per il teorema della proiezione e di conseguenza appartentente a $W$.
Non avendo a portata di mano un testo(sono fuori casa) non ricordo il teorema della proiezione ne come è fatta questa di conseguenza non mi spiego le frasi sopra citate.
Se qualcuno di voi ha idee più chiare di me gliene sarei grato se mi ricordasse qualcosa.
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