Autovalori di matrici ortonormali
Gentili utenti del forum,
studiando gli autovalori e la diagonalizzabilità delle matriti mi sono imbattuto in un simpatico asserto:
ogni matrice ortonormale (che forse alcuni chiamano ortogonale) può possedere, come autovalori reali, soltanto +1 oppure -1.
Qualcuno potrebbe giustificarmi tale affermazione?
Grazie mille
studiando gli autovalori e la diagonalizzabilità delle matriti mi sono imbattuto in un simpatico asserto:
ogni matrice ortonormale (che forse alcuni chiamano ortogonale) può possedere, come autovalori reali, soltanto +1 oppure -1.
Qualcuno potrebbe giustificarmi tale affermazione?
Grazie mille
Risposte
Sia $A$ ortogonale, ovvero $A A^T = I$ e sia $v$ autovettore rispetto all'autovalore $lambda$.
$Av = lambda v $ e quindi trasponendo $v^T A^T = lambda v^T$.
Moltiplicando le due equazioni otteniamo: $v^T A^T Av = lambda^2 v^T v$
e poiché $A^T A = I$ si ha che $v^T v = lambda^2 v^Tv$ e perciò $lambda^2 = 1$ da cui segue la tesi.
$Av = lambda v $ e quindi trasponendo $v^T A^T = lambda v^T$.
Moltiplicando le due equazioni otteniamo: $v^T A^T Av = lambda^2 v^T v$
e poiché $A^T A = I$ si ha che $v^T v = lambda^2 v^Tv$ e perciò $lambda^2 = 1$ da cui segue la tesi.
Grazie mille per la risposta 
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