Autovalori di matrice idempotente
Ciao, ho bisogno di una conferma riguardo un esercizio di Algebra Lineare.
L'esercizio mi chiede di dimostrare che l'unico autovalore di una matrice idempotente $A=A^2$ con $A ∈ R^(n x n)$ è $λ =1$
Tuttavia da come ho visto in rete e da come poi si dimostra la cosa mi viene che gli autovalori possibili sono sia 0 che 1.
Gli unici esempi di matrici idempotenti che mi vengono in mente sono le matrici identità, per le quali l'unico autovettore è appunto solo 1. In quali casi si ha l'autovettore 0? Potrebbe essere che la consegna è sbagliata?
L'esercizio mi chiede di dimostrare che l'unico autovalore di una matrice idempotente $A=A^2$ con $A ∈ R^(n x n)$ è $λ =1$
Tuttavia da come ho visto in rete e da come poi si dimostra la cosa mi viene che gli autovalori possibili sono sia 0 che 1.
Gli unici esempi di matrici idempotenti che mi vengono in mente sono le matrici identità, per le quali l'unico autovettore è appunto solo 1. In quali casi si ha l'autovettore 0? Potrebbe essere che la consegna è sbagliata?
Risposte
Mmm.. io farei così.
Sia $\lambda$ autovalore non nullo di $A$: $Av=\lambdav$
Inoltre $A^2v=lambda^2 v$ e visto che $A=A^2$: $\lambda^2v=\lambdav$: $(\lambda^2- \lambda)v=0$.
Sia $\lambda$ autovalore non nullo di $A$: $Av=\lambdav$
Inoltre $A^2v=lambda^2 v$ e visto che $A=A^2$: $\lambda^2v=\lambdav$: $(\lambda^2- \lambda)v=0$.
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