Autovalori di $A A^T$
Dimostrare che la matrice ottenuta moltiplicando una matrice reale per la sua trasposta ha tutti autovalori reali positivi.
Risposte
ci sono ipotesi su $A$ nel senso che possiede tutti gli autovalori nel campo, è diagonalizzabile....ecc????
NO....
vale per ogni $A$ ($A A^T$ è un operatore positivo) ...
però non mi viene una dim elementare
vale per ogni $A$ ($A A^T$ è un operatore positivo) ...
però non mi viene una dim elementare
cosa intendi x dim elementare????
cosa sfrutti nella tua???
cosa sfrutti nella tua???
non lo so... sto perdendo i confini fra elementare e non...
la scrivo velocemente...
1) ricordo che un operatore positivo $S$ è per definizione tale che $(x,Sx)\ge0$ per ogni $x$ in uno
spazio pre-hilbertiano. Applicando la definizione con $S=A A^T$ segue subito che $A A^T$ è positivo,
in quanto $(x,A A^Tx)=(Ax,Ax)=||Ax||^2\ge0.
2) un operatore positivo ha sempre spettro reale e positivo. Questo è un risultato di teoria spettrale che non so
se si può ricavare, nel caso di matrici, in maniera veloce ... la dim che conosco io è una dim di analisi
funzionale.
P.s. bisogna vedere quali sono le conoscenze del nostro Miles Davis...
la scrivo velocemente...
1) ricordo che un operatore positivo $S$ è per definizione tale che $(x,Sx)\ge0$ per ogni $x$ in uno
spazio pre-hilbertiano. Applicando la definizione con $S=A A^T$ segue subito che $A A^T$ è positivo,
in quanto $(x,A A^Tx)=(Ax,Ax)=||Ax||^2\ge0.
2) un operatore positivo ha sempre spettro reale e positivo. Questo è un risultato di teoria spettrale che non so
se si può ricavare, nel caso di matrici, in maniera veloce ... la dim che conosco io è una dim di analisi
funzionale.
P.s. bisogna vedere quali sono le conoscenze del nostro Miles Davis...
una semplice osservazione è che $AA^T$ è simmetrico quindi ha autovalori reali...e poi il punto 1) della tua dim conlcude.... o no???? 
hai ragione... mi era sfuggito che bastasse il punto 1) e quella oss (ovvia! è la prima cosa che deve
venire in mente!) ... resta il fatto che gli spazi pre-hilb non si fanno in un primo corso
di geometria... bisogna vedere se Miles Davis li conosce e li può usare ...
venire in mente!) ... resta il fatto che gli spazi pre-hilb non si fanno in un primo corso
di geometria... bisogna vedere se Miles Davis li conosce e li può usare ...
no vabbè ma nn centra credo che questo sia in $RR^n$...e quello del punto $1$ è la definizione di matrice definita positiva
mmm si... hai ancora ragione!
Che $ A^T * A $ sia una matrice simmetrica è certo .
Le matrici simmetriche reali hanno autovalori reali : ma questo va dimostrato e pur non difficile è fastidioso da scrivere ...
Le matrici simmetriche reali hanno autovalori reali : ma questo va dimostrato e pur non difficile è fastidioso da scrivere ...
pensavo che questo fosse noto..
Vi ringrazio. Ora sembra tutto più semplice!!!
@ubermensch
"pre-hilbertiano" è veramente brutto anche se si trova, io preferisco "euclideo"
"pre-hilbertiano" è veramente brutto anche se si trova, io preferisco "euclideo"
"Maxos":
@ubermensch
"pre-hilbertiano" è veramente brutto anche se si trova, io preferisco "euclideo"
In realtà io sapevo che pre-hilbertiano ed euclideo sono cose distinte: il primo è uno spazio
con prodotto scalare (in $CC$ una forma sesquilineare definita positiva), che però non è
completo nella metrica indotta. Il secondo è uno spazio di Hilbert di dimensione finita...
forse ricordo male
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo