Autovalori da semplificare
Mi sono stupita di fronte al risultato di un esercizio di analisi funzionale: si chiede di trovare gli autovalori del seguente operatore:
$A=((2,1+i),(-2i,2-i))$
il $|(2-lambda,1+i),(-2i,2-i-lambda)|= lambda^2 + (i-4)lambda +2 $ quindi
$lambda_{1,2}= (-i +4 +- sqrt(7-8i))/2$
Ho provato a vedere se la quantità sotto radice si potesse scrivere come un quadrato perfetto del tipo $ (7 - 8i) = (x + iy)^2$ ma non è possibile. Vi chiedo se riuscite a vedere un modo per semplificare il risultato anche perchè la radice di un numero complesso così scritta non ha molto senso essendo una funzione polidroma. Inoltre l'esercizio chiede poi i proiettori relativi agli autovettori e relativo nucleo e range ma i calcoli sarebbero molto complessi con questo risultato. Grazie.
$A=((2,1+i),(-2i,2-i))$
il $|(2-lambda,1+i),(-2i,2-i-lambda)|= lambda^2 + (i-4)lambda +2 $ quindi
$lambda_{1,2}= (-i +4 +- sqrt(7-8i))/2$
Ho provato a vedere se la quantità sotto radice si potesse scrivere come un quadrato perfetto del tipo $ (7 - 8i) = (x + iy)^2$ ma non è possibile. Vi chiedo se riuscite a vedere un modo per semplificare il risultato anche perchè la radice di un numero complesso così scritta non ha molto senso essendo una funzione polidroma. Inoltre l'esercizio chiede poi i proiettori relativi agli autovettori e relativo nucleo e range ma i calcoli sarebbero molto complessi con questo risultato. Grazie.
Risposte
se devi estrarre la radice quadrata di un numero complesso per prima cosa scrivitelo in forma goniometrica e poi c'è una nota formula...
http://www.matematicamente.it/staticfiles/approfondimenti/approfondimenti/potenze_e_radici_di_numeri_complessi.pdf
Vai a pagina 10 di quel documento...
http://www.matematicamente.it/staticfiles/approfondimenti/approfondimenti/potenze_e_radici_di_numeri_complessi.pdf
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ma in questo modo avrei un $ e^((tg^(-1) -8/7)/2 +kpi $ e non risulterebbe molto semplificato nemmeno se poi lo riporto in forma cartesiana...probabilmente non si riesce a semplificare.
Io da studente di fisica mediocre farei così:
ricora che $|7-8i|=sqrt(113)$ e che un numero complesso può essere scritto come $sqrt(z)=sqrt(|z|)(cos(u/2)+isin(u/2))$ nel caso specifico
$cos(u)=7/(sqrt(113))$ e $sin(u)=-8/(sqrt(113))$ poi essendo tu un folletto furbo ti ricorderai sicuramente le formule di bisezione
$cos(u/2)=+-sqrt((1+cos(u))/2)$ ed $sin(u/2)=+-sqrt((1-cos(u))/2)$ sostituisci tutto e forse viene. Quite simple
ricora che $|7-8i|=sqrt(113)$ e che un numero complesso può essere scritto come $sqrt(z)=sqrt(|z|)(cos(u/2)+isin(u/2))$ nel caso specifico
$cos(u)=7/(sqrt(113))$ e $sin(u)=-8/(sqrt(113))$ poi essendo tu un folletto furbo ti ricorderai sicuramente le formule di bisezione
$cos(u/2)=+-sqrt((1+cos(u))/2)$ ed $sin(u/2)=+-sqrt((1-cos(u))/2)$ sostituisci tutto e forse viene. Quite simple
ma viene una cosa brutta lo stesso con quelle $sqrt(113)$. E' solo un'altro procedimento rispetto a quello che dicevo io ma il risultato è lo stesso perchè non è un quadrato perfetto. Poi ci sono da calcolare i proiettori. Ci vorrebbe tutto il tempo solo per fare questo esercizio. Ci deve essere un trucco alla Moretti.
guarda che ho contollato con mathematica e mi lascia glia autovalori come hai scritto te.
Semplicemente lui si inventa delle matrici e poi non si rende conto che per trovare gli autovalori ci vuole tempo visto che tanto lui se li calcola con il calcolatore.
trucco alla moretti? $1+1=3$
Semplicemente lui si inventa delle matrici e poi non si rende conto che per trovare gli autovalori ci vuole tempo visto che tanto lui se li calcola con il calcolatore.
trucco alla moretti? $1+1=3$
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