Autovalori con parametro
Data la seguente matrice Aα con α∈ℝ
$A_\alpha = ((0, 2\alpha, 2\alpha), (0, 1, 1), (4\alpha, 0, 0))$
a) determinare, al variare del parametro α, gli autovalori.
b) Stabilire per quali valori di α∈ℝ la matrice e' diagonalizzabile.
(Si consiglia di determinare preliminarmente per quali valori del parametro α gli autovalori sono tutti distinti)
io ho trovato come autovalori
$\lambda = 4\alpha$ $\lambda = 0$ $\lambda = 2\alpha+1$ Sono giusti? se si come proseguo? grazie XD
$A_\alpha = ((0, 2\alpha, 2\alpha), (0, 1, 1), (4\alpha, 0, 0))$
a) determinare, al variare del parametro α, gli autovalori.
b) Stabilire per quali valori di α∈ℝ la matrice e' diagonalizzabile.
(Si consiglia di determinare preliminarmente per quali valori del parametro α gli autovalori sono tutti distinti)
io ho trovato come autovalori
$\lambda = 4\alpha$ $\lambda = 0$ $\lambda = 2\alpha+1$ Sono giusti? se si come proseguo? grazie XD
Risposte
"robymexy86":
Data la seguente matrice Aα con α∈ℝ
$A_\alpha = ((0, 2\alpha, 2\alpha), (0, 1, 1), (4\alpha, 0, 0))$
a) determinare, al variare del parametro α, gli autovalori.
b) Stabilire per quali valori di α∈ℝ la matrice e' diagonalizzabile.
(Si consiglia di determinare preliminarmente per quali valori del parametro α gli autovalori sono tutti distinti)
io ho trovato come autovalori
$\lambda = 4\alpha$ $\lambda = 0$ $\lambda = 2\alpha+1$ Sono giusti? se si come proseguo? grazie XD
La traccia di $A$ è uguale a $1$, gli autovalori sono quindi sbagliati ($\lambda=0$ è giusto però!!)
e come trovo gli altri autovalori? mi viene una cosa tipo $ -\lambda *(\lambda^2-\lambda-8*\alfa^2) $ come vado avanti?
"robymexy86":
e come trovo gli altri autovalori? mi viene una cosa tipo $ -\lambda *(\lambda^2-\lambda-8*\alfa^2) $
Bene, ora trova le radici del polinomio!!
Il polinomio caratteristico è corretto .
Quindi risolvi la equazione di secondo grado ....
Se vuoi che $ alpha $ appaia correttamente devi scriverlo alpha .
Quindi risolvi la equazione di secondo grado ....
Se vuoi che $ alpha $ appaia correttamente devi scriverlo alpha .
$ Delta t = 33 s $ 
ah già scusa $\alpha$. ma mi viene $ (1(+-) sqrt (1+32\alpha))/2 $. come faccio ad andare avanti, cioè prima trovo $\alpha$?
"Camillo":
$ Delta t = 33 s $
Quasi un $dt$ ...
E sono corretti .
Perchè la matrice sia diagonalizzabile bisogna che la molteplicità algebrica degli autovalori sia pari alla molteplicità geometrica degli stessi.
Come suggerisce il testo verifica prima per quali valori di $ alpha $ i tre autovalori sono distinti tra loro e quindi senz'altro matrice diagonalizzabile.
Perchè la matrice sia diagonalizzabile bisogna che la molteplicità algebrica degli autovalori sia pari alla molteplicità geometrica degli stessi.
Come suggerisce il testo verifica prima per quali valori di $ alpha $ i tre autovalori sono distinti tra loro e quindi senz'altro matrice diagonalizzabile.
"franced":
[quote="Camillo"]$ Delta t = 33 s $
Quasi un $dt$ ...[/quote]
Quasi ...
ok quindi devo trovare quel numero di s tale che gli autovalori sono distinti? cioè $\lambda=0$, $\lambda=(1-sqrt(33s^2))/2$ ,$\lambda = (1+sqrt(33s^2))/2$?
"robymexy86":
ah già scusa $\alpha$. ma mi viene $ (1(+-) sqrt (1+32\alpha))/2 $. come faccio ad andare avanti, cioè prima trovo $\alpha$?
Attenzione al radicando: c'è $\alpha^2$, non $\alpha$ .
In questo modo scopri che gli autovalori sono tutti reali e quindi l'endomorfismo è triangolabile
per ogni valore di $\alpha \in \mathbb(R)$.
Poi vai a studiare la dioagonalizzabilità andando a vedere quando ci sono autovalori con molteplicità algebrica maggiore di 1.
ehm in modo pratico come sarebbe? io volevo mettere che per $\alpha =1$ allora sono tutti distinti e quindi la matrice è diagonalizzabile. è sbagliato? anzi per $\alpha > 0$ dato che con 0 due autovalori sono uguali
Ma tu devi trovare tutti i valori di $ alpha $ per cui gli autovalori sono distinti (oppure i valori per cui non lo sono).
Battezziamo gli autovalori
$lambda_1 =0 ;lambda_2 = (1+sqrt(1+32 alpha^2)) ; lambda_3 = (1-sqrt(1+32 alpha^2)) $
Adesso il problema da risolvere è : per quali valori di $alpha $ si ha che :
$lambda_1 = lambda_2 $
$lambda_1= lambda_3 $
$lambda_2 = lambda_3 $
Perchè non consideri $ alpha < 0 ?$
Battezziamo gli autovalori
$lambda_1 =0 ;lambda_2 = (1+sqrt(1+32 alpha^2)) ; lambda_3 = (1-sqrt(1+32 alpha^2)) $
Adesso il problema da risolvere è : per quali valori di $alpha $ si ha che :
$lambda_1 = lambda_2 $
$lambda_1= lambda_3 $
$lambda_2 = lambda_3 $
Perchè non consideri $ alpha < 0 ?$
be per il primo non ci sono valori di $\alpha$ per cui $\lambda1=\lambda2$, per il secondo deve essere $\alpha=0$ e per il terzo è come il primo. giusto? con $\alpha<0$ non mi sembri cambi molto...quindi alla fine come faccio? dopo aver trovato che per $\alpha=0$ ho 2 autovalori distinti come faccio per la diagonalizzabilità?
Se $ alpha ne 0 $ hai tre autovalori distinti e quindi la matrice è diagonalizzabile in quanto $m_a = m_g = 1 $ ( indico con $m $ le molteplicità algebrica e geometrica ).
Se invece $ alpha =0 $ hai che $lambda_1 = lambda_3 =0 $ , quindi $lambda =0 $ è radice doppia.
Devi verificare se l'autospazio associato a questo valore ha dimensione 2; in tal caso la matrice è diagonalizzabile e quindi risulta diagonalizzabile pr ogni valore di $ alpha $ ; in caso contrario è diagonalizzabile solo se $alpha ne 0 $ .
Se invece $ alpha =0 $ hai che $lambda_1 = lambda_3 =0 $ , quindi $lambda =0 $ è radice doppia.
Devi verificare se l'autospazio associato a questo valore ha dimensione 2; in tal caso la matrice è diagonalizzabile e quindi risulta diagonalizzabile pr ogni valore di $ alpha $ ; in caso contrario è diagonalizzabile solo se $alpha ne 0 $ .
quindi devo fare (A-0(I))=0 e poi fare il sistema in questo caso? ps. grazie di tutto e scusa se ti sto rompendo
Sì e risolvere il sistema omogeneo e vedere la dimensione dello spazio delle soluzioni.
ok grazie ho capito XD
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