Autovalori con matrice 3x3

[tangarana]

Salve a tutti!
Il problema è relativo alla seguente matrice A:

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1/2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

devo calcolarne gli autovalori, all'interno di una tecnica chiamata Analytic Hierarchy Process. Dunque devo annullare l'equazione caratteristica:

det(A - $ lambda $ I) .

Il problema è relativo al fatto che mi trovo un'equazione di terzo grado del tipo:
\( -\lambda ^3 +3\lambda ^2 +1/2 \)

che con Ruffini credo non si possa risolvere dato il termine noto frazionario.

Come si procede in questo caso? E in generale con matrici 3*3?! Grazie

[stormy1]

ciao
a me risulta che il determinante di $A-lambdaI$ sia $(5+lambda)(-lambda^2-lambda+2)$

$ A-lambdaI=( ( 4-lambda , 6 , 0 ),( -3 , -5-lambda , 0 ),( -3 , -6 , -5-lambda ) ) $

[garnak.olegovitc1]

@tangarana,

"tangarana":Salve a tutti!
Il problema è relativo alla seguente matrice A:
$ ( ( 4 , 6 , 0 ),( -3 , -5 , 0 ),( -3 , -6 , -5 ) ) $
devo calcolarne gli autovalori, all'interno di una tecnica chiamata Analytic Hierarchy Process

non ho capito in questo caso l'uso della AHP..

[tangarana]

Chiedo umilmente venia, tra tante matrici avevo sbagliato inserimento. Adesso ho corretto!

[tangarana]

"garnak.olegovitc":@tangarana,[quote="tangarana"]Salve a tutti!
Il problema è relativo alla seguente matrice A:
$ ( ( 4 , 6 , 0 ),( -3 , -5 , 0 ),( -3 , -6 , -5 ) ) $
devo calcolarne gli autovalori, all'interno di una tecnica chiamata Analytic Hierarchy Process

non ho capito in questo caso l'uso della AHP..[/quote]

Garnak la conosci come tecnica? Io la sto studiando per un esame, e sto cercando di capirci un pò di più di ciò che c'è scritto nelle slide. In pratica serve per individuare un'alternativa migliore in mezzo a tante; più persone possono utilizzare una scala di giudizio per esprimere il loro parere rispetto a diverse alternative, ottendendo ognuno una matrice dei confronti a coppie (coppie di criteri o proprietà relative alle alternative che vengono confrontate); in ipotesi ideali si avrebbe una matrice consistente.
Una matrice consistente avendo colonne proporzionali (o righe) , ha rango sempre uno; inoltre ha elementi della diagonale principale tutti pari ad uno; quindi considerando la traccia si ha che l'unico autovalore sarà pari proprio ad n (ordine matrice quadrata).
Si calcola l'autovalore principale proprio per capire la consistenza dei giudizi e quindi della matrice: se l'autovalore è pari a n la matrice è consistente; più si discosta diventando maggiore, meno è consistente la matrice e si dovranno rivedere i giudizi.

[garnak.olegovitc1]

@tangarana,

"tangarana":Salve a tutti!
Il problema è relativo alla seguente matrice A:
\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1/2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
devo calcolarne gli autovalori, all'interno di una tecnica chiamata Analytic Hierarchy Process. Dunque devo annullare l'equazione caratteristica:
\(\det(A - \lambda I)\) .
Il problema è relativo al fatto che mi trovo un'equazione di terzo grado del tipo:
\( -\lambda ^3 +3\lambda ^2 +1/2 \)
che con Ruffini credo non si possa risolvere dato il termine noto frazionario.
Come si procede in questo caso? E in generale con matrici \(3\times 3\)?! Grazie

bhè, il polinomio caratteristico è corretto (e in generale, anche per le matrici in \( \mathfrak{M}_{n,n}(\mathbf{K})\), per il calcolo si procede in questo modo); per gli zeri devo ammettere che quel polinomio è rognoso.. potresti applicare le formule risolutive di Cardano

"tangarana":
Garnak la conosci come tecnica?

non conosco, chiedevo soltanto!

[stormy1]

@tangarana
non so se ti può essere di qualche utilità : l'equazione ha un'unica soluzione irrazionale $alpha$ ,con $3

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[tangarana]

"stormy":@tangarana
non so se ti può essere di qualche utilità : l'equazione ha un'unica soluzione irrazionale $alpha$ ,con $3

Grazie stormy! Tu come lo hai ricavato? In realtà avevo anche il risultato ma mi piace sempre convalidarlo con le mie mani; in realtà all'università non si studiano molto le equazioni di grado superiore al terzo; e il solo sistema che conoscevo è Ruffini, che se mi confermate, è applicabile solo in alcune circostanze, e mi pare di aver capito, che uno dei requisiti è un termine noto intero, è corretto?

Per quanto riguarda Cardano, qualcosa di comprensibile e immediato da suggerirmi in questo mare del web? O stesso su Matematicamente?

Grazie a tutti.

[stormy1]

"tangarana":Tu come lo hai ricavato?

ho scritto l'equazione nella forma $2lambda^3-6lambda^2-1=0$ (mi era più simpatica così )
poi ho fatto un rapido studio della funzione $y=2x^3-6x^2-1$ e ho osservato(in maniera empirica) che la funzione si annullava dalle parti del 3