Autovalori con Dirichlet nel Laplace Problem

[BrainBurner]

Ciao a tutti, abbiamo visto da poco a lezione il Laplace Problem nell'elettrostatica, che si ottiene minimizzando l'energia:
$varepsilon [varphi]=int_Omega frac{1}{2} |grad varphi|^2 dV=frac{1}{2}||varphi||_{H_1(Omega)}^2$
Con le condizioni di contorni di Dirichlet, cioè $varphi(partial Omega)=0$.
Che in teoria mi sembra dovrebbe portare all'equazione di Maxwell $Delta varphi=rho$.

Quello che non capisco è perché ad un certo punto si tirano in gioco gli autovalori e la seguente equazione:
$Delta varphi + lambda u=0$

spero di essermi spiegato...

Qualcuno può aiutarmi?

[pat871]

Ciao Michele! Come te la passi?
Anche te qui...

Ma non è semplicemente una definizione quella?
Mi ricordo che sotto le condizioni di Dirichlet al bordo di $\Omega$, avevamo definito il primo autovalore di Dirichlet così:
$\lambda_1^{D}(\Omega) = i nf_{u \in K_1(\Omega)}(2\epsilon)$
e avevamo dimostrato che le il problema degli autovalori ti dava appunto l'autovalore di Dirichlet.
Ameno...credo...

[BrainBurner]

Il problema è che non ha capito perché si usano gli autovalori per un problema di minimizzazione...

[_italia_11]

scusate potreste rispondere al mio problema è molto urgente vi pregoooo stelline..