Autovalori complessi, Teoria dei sistemi

[Avelyne]

Ho una matrice

A = $((0,-2,1),(8,0,4),(0,0,-1))$

Ho calcolato gli autovalori:
λ = -1
u1 = -4j
u2 = 4j

Ora però mi trovo in difficoltà a calcolare i suoi autovettori
Ho provato a fare (A-αI)u = 0 --> $\{((A - αI)ua = -ωub), ((A - αI)ub = ωua) :}$ Con α in questo caso credo = 0 ??

Quindi mi viene fuori un sistema enorme, che ho provato a risolvere con trovando i pivot ecc.. Ma non credo si risolva così. Potete aiutarmi?

[dissonance]

Non è che si possa semplificare tanto, devi per forza fare questi conti. Non dividere parte reale e parte immaginaria, fai i conti direttamente con i numeri complessi.

[Avelyne]

"dissonance":Non è che si possa semplificare tanto, devi per forza fare questi conti. Non dividere parte reale e parte immaginaria, fai i conti direttamente con i numeri complessi.

Ti ringrazio per la risposta, il mio dubbio era se avessi sbagliato i calcoli e il ragionamento. Cosa intenti per: 'non dividere parte reale ed immaginaria'?
Io ho quella formula, come dovrei calcolarli altrimenti?

[dissonance]

Forse ho capito male cosa intendevi con quella formula allora. Che cosa sarebbero \(u_a\) e \(u_b\)? In ogni caso ti tocca proprio fare i conti

[Avelyne]

No credo tu abbia capito bene, poiché sto uguagliando parte reale ed immaginaria, ma non saprei farlo altrimenti. Come farlo senza dividerli. Ho che $lambda$ = $alpha$ +jw associato all'autovettore u = ua + jub

[dissonance]

Non hai imparato a risolvere i sistemi lineari con i numeri complessi? Secondo me si. Fai i conti come se fossero dei numeri reali, tenendo presente che \(j^2=-1\).

[Avelyne]

Ah ok.. Quindi dovrei fare $( A- $$lambda$ $I)u = 0$ per $lambda$ $= j4$ $ -> (A-j4I)u = 0$ cioè --> $((-j4,-2,1),(8,-j4,4),(0,0,-1-j4))*((a),(b),(c))$ quindi poi faccio il sistema?

Così nel primo caso trovo $u1 = ((1),(-2j),(0))$, nel secondo $u2 = ((1),(2j),(0))$.

Ora quindi faccio $ u = ua+jub $ e mi trovo $ua = ((1),(0),(0))$ parte reale e $ub = ((0),(2),(0))$ parte immaginaria.

Tralasciando i calcoli il ragionamento e' giusto?

Grazie per l'aiuto!