Autovalori capricciosi
Ciao ragazzi, c'è un esercizio che mi sta facendo uscire di testa (o forse ne ho fatti troppi per oggi). Ve lo posto così se qualcuno si sta annoiando veramente molto può provare a darci uno sguardo..
"Si consideri il seguente endomorfismo in $ RR ^4 $
$ f(x,y,z,t) = (x-y, x+y, 2z-t, -z+t) $
Si trovi la matrice A associata ad f rispetto alla base canonica. Si determinino gli autovalori di A e una base di ogni autovettore."
Allora la matrice A è presto scritta:
$ ( ( 1 , -1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , -1 , 1 ) ) $
E' una matrice con determinante = 3 e rango = 4
Fin qui tutto facile sempre se non ho perso qualche meno per strada.
Per gli autovalori scrivo il determinante di $ (A -LI) $ e lo sviluppo, ottenendo come polinomio caratteristico
$ (1-L)(L-1)(-L^2+3L-1) $
(sto usando L al posto della classica lambda)
Al che il calcolo degli autovalori mi da..
$ L1 = 1 $
$ L2 = 2 $
$ L3,4 = (-3pm sqrt((3^2-4(-1)(-1)))) / -2 = (3pm sqrt(5)) / 2 $
Quindi ottengo due radici del piffero, e va be'. Procedo con gli autovettori del primo autovalore e ottengo la matrice in cui sostituisco L = 1.
$ ( ( 0 , -1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , -1 , 0 ) ) $
A questo punto, visto che ho questo autovalore con molteplicità 2, mi viene la curiosità di calcolare la dimensione dell sottospazio vettoriale, che dovrebbe essere data dal rango di questa matrice... che è 4. Infatti questo determinante vale 1.
Ma la dimensione del sottospazio non dovrebbe essere minore o al massimo uguale alla molteplicità dell'autovalore, quindi in questo caso 2??
Se avete voglia di controllare dove sbaglio.. vi ringrazio!!!
"Si consideri il seguente endomorfismo in $ RR ^4 $
$ f(x,y,z,t) = (x-y, x+y, 2z-t, -z+t) $
Si trovi la matrice A associata ad f rispetto alla base canonica. Si determinino gli autovalori di A e una base di ogni autovettore."
Allora la matrice A è presto scritta:
$ ( ( 1 , -1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , -1 , 1 ) ) $
E' una matrice con determinante = 3 e rango = 4
Fin qui tutto facile sempre se non ho perso qualche meno per strada.
Per gli autovalori scrivo il determinante di $ (A -LI) $ e lo sviluppo, ottenendo come polinomio caratteristico
$ (1-L)(L-1)(-L^2+3L-1) $
(sto usando L al posto della classica lambda)
Al che il calcolo degli autovalori mi da..
$ L1 = 1 $
$ L2 = 2 $
$ L3,4 = (-3pm sqrt((3^2-4(-1)(-1)))) / -2 = (3pm sqrt(5)) / 2 $
Quindi ottengo due radici del piffero, e va be'. Procedo con gli autovettori del primo autovalore e ottengo la matrice in cui sostituisco L = 1.
$ ( ( 0 , -1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , -1 , 0 ) ) $
A questo punto, visto che ho questo autovalore con molteplicità 2, mi viene la curiosità di calcolare la dimensione dell sottospazio vettoriale, che dovrebbe essere data dal rango di questa matrice... che è 4. Infatti questo determinante vale 1.
Ma la dimensione del sottospazio non dovrebbe essere minore o al massimo uguale alla molteplicità dell'autovalore, quindi in questo caso 2??
Se avete voglia di controllare dove sbaglio.. vi ringrazio!!!
Risposte
La dimensione dell'autospazio è:
1) maggiore uguale a 1.
2) minore uguale alla molteplicità (algebrica) dell'autovalore relativo;
Però attenta! La dimensione dell'autospazio non è il rango della matrice [tex]A-I\lambda[/tex], bensì [tex]n-\text{rank}(A)[/tex], dove n è la dimensione dello spazio vettoriale. Ti ritrovi, oppure questo punto non ti è chiaro? In questo caso ti verrebbe che l'autospazio ha dimensione 0 e quindi che hai sbagliato i conti.
In particolare, sei sicura di aver calcolato il polinomio caratteristico giusto? A me sembra venire un po' diverso: [tex](\lambda^2-2\lambda+2)(\lambda^2-3\lambda+1)[/tex]
1) maggiore uguale a 1.
2) minore uguale alla molteplicità (algebrica) dell'autovalore relativo;
Però attenta! La dimensione dell'autospazio non è il rango della matrice [tex]A-I\lambda[/tex], bensì [tex]n-\text{rank}(A)[/tex], dove n è la dimensione dello spazio vettoriale. Ti ritrovi, oppure questo punto non ti è chiaro? In questo caso ti verrebbe che l'autospazio ha dimensione 0 e quindi che hai sbagliato i conti.
In particolare, sei sicura di aver calcolato il polinomio caratteristico giusto? A me sembra venire un po' diverso: [tex](\lambda^2-2\lambda+2)(\lambda^2-3\lambda+1)[/tex]
Ah grazie! Hai ragione tu, in effetti viene 0 ma non è possibile. Forse ho sbagliato qualcosa nel polinomio.. faccio sempre di questi errori.. grazie ora ricontrollo. Comunque le radici della seconda equazione sono uguali, odio le radici irrazionali grr 
Sì ora ho rifatto con calma i calcoli e il polinomio caratteristico risulta come dici tu.. nel senso che io ottengo un polinomio di quarto grado che effettivamente si riottiene moltiplicando i due polinomi di secondo grado che hai scritto, anche se sinceramente io non l'avrei saputo scomporre perchè oltre alla divisione con Ruffini non so andare 
Comunque ora continuo l'esercizio!
Comunque ora continuo l'esercizio!
Un altro consiglio/trucco... Non sviluppare mai il determinante per esteso (quando c'è almeno un'altra possibilità), così ti ritrovi il polinomio già fattorizzato!
Ti posto i passaggi, per farti capire cosa intendo:
[tex]\begin{vmatrix}1-\lambda & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 - \lambda & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 - \lambda\end{vmatrix}= (1-\lambda) \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 2-\lambda & -1 \\ 0 & -1 & 1-\lambda\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2-\lambda & -1 \\ 0 & -1 & 1-\lambda\end{vmatrix} =[/tex]
[tex]= (1-\lambda)^2\begin{vmatrix}2-\lambda & -1 \\ -1 & 1- \lambda\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}2-\lambda & -1 \\ -1 & 1-\lambda\end{vmatrix} = ((1-\lambda)^2+1)\begin{vmatrix}2-\lambda & -1 \\ -1 & 1- \lambda\end{vmatrix}=[/tex]
[tex]= (2 -2\lambda + \lambda^2)(\lambda^2-3\lambda+1)[/tex]
Visto? Con ogni probabilità, ci avrei messo secoli a fattorizzare quel polinomio di quarto grado... ma in questo modo ho aggirato l'ostacolo
Ti posto i passaggi, per farti capire cosa intendo:
[tex]\begin{vmatrix}1-\lambda & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 - \lambda & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 - \lambda\end{vmatrix}= (1-\lambda) \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 2-\lambda & -1 \\ 0 & -1 & 1-\lambda\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2-\lambda & -1 \\ 0 & -1 & 1-\lambda\end{vmatrix} =[/tex]
[tex]= (1-\lambda)^2\begin{vmatrix}2-\lambda & -1 \\ -1 & 1- \lambda\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}2-\lambda & -1 \\ -1 & 1-\lambda\end{vmatrix} = ((1-\lambda)^2+1)\begin{vmatrix}2-\lambda & -1 \\ -1 & 1- \lambda\end{vmatrix}=[/tex]
[tex]= (2 -2\lambda + \lambda^2)(\lambda^2-3\lambda+1)[/tex]
Visto? Con ogni probabilità, ci avrei messo secoli a fattorizzare quel polinomio di quarto grado... ma in questo modo ho aggirato l'ostacolo
Grazie questa cosa me la ricorderò molto bene!!
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