Autovalori, autovettori e matrici non quadrate
Buongiorno!
Se non ricordo male dai vari corsi di algebra lineare, analisi, ecc... Gli autovalori, gli autovettori ed il determinante sono delle proprietà tipiche delle matrici quadrate.
Ergo, se una matrice $A$ appartiene e a $RR^(m xx n)$ con $m!=n$, allora a tale matrice non è possibile associare tali valori (determinante, autovalori e autovettori).
Due domande:
a) Confermate quanto ho detto?
b) Ragionamento un tantino filosofico: da tali valori si possono estrarre moltissime informazioni, associare "un mondo d'informazioni" ad una matrice... A cosa è dovuto il fatto che alle matrici quadrate è possibile associare questo "mondo", mentre alle matrici rettangolari no? Come mai queste ultime sono così meno colme di informazioni?
Se non ricordo male dai vari corsi di algebra lineare, analisi, ecc... Gli autovalori, gli autovettori ed il determinante sono delle proprietà tipiche delle matrici quadrate.
Ergo, se una matrice $A$ appartiene e a $RR^(m xx n)$ con $m!=n$, allora a tale matrice non è possibile associare tali valori (determinante, autovalori e autovettori).
Due domande:
a) Confermate quanto ho detto?
b) Ragionamento un tantino filosofico: da tali valori si possono estrarre moltissime informazioni, associare "un mondo d'informazioni" ad una matrice... A cosa è dovuto il fatto che alle matrici quadrate è possibile associare questo "mondo", mentre alle matrici rettangolari no? Come mai queste ultime sono così meno colme di informazioni?
Risposte
Anche le matrici non quadrate hanno una nozione di "autovalore": si chiamano "valori singolari", e sono gli autovalori della matrice \(A^tA\) https://it.wikipedia.org/wiki/Decomposi ... _singolari
Un altro senso in cui si può associare una "autoteoria" a una matrice non quadrata è la forma normale di Smith https://en.wikipedia.org/wiki/Smith_normal_form
La risposta alla domanda filosofica è altrettanto filosofica: la forma diagonale o triangolare di una matrice A è un rappresentante canonico, particolarmente semplice dell'orbita dell'azione per coniugio \(A\mapsto P^{-1}AP\) di GL su \(M_n(K)\). Questa azione è bilatera.
Per matrici non quadrate bisogna stare più attenti sia a definire l'azione (destra, di \(GL_n\), e sinistra, di \(GL_m\)), sia a definire le orbite dell'azione (nell'orbita di A ci sono tutte le matrici della forma $SAT$, con $S\in GL_m$ e $T\in GL_n$; un particolare elemento di questa classe di equivalenza è la forma normale di Smith di A).
Ora, pensa a questa domanda: per matrici quadrate, che differenza c'è tra l'azione per coniugio di GL su \(M_n(K)\) e l'azione bilatera \(A\mapsto PAQ\)?
Un altro senso in cui si può associare una "autoteoria" a una matrice non quadrata è la forma normale di Smith https://en.wikipedia.org/wiki/Smith_normal_form
La risposta alla domanda filosofica è altrettanto filosofica: la forma diagonale o triangolare di una matrice A è un rappresentante canonico, particolarmente semplice dell'orbita dell'azione per coniugio \(A\mapsto P^{-1}AP\) di GL su \(M_n(K)\). Questa azione è bilatera.
Per matrici non quadrate bisogna stare più attenti sia a definire l'azione (destra, di \(GL_n\), e sinistra, di \(GL_m\)), sia a definire le orbite dell'azione (nell'orbita di A ci sono tutte le matrici della forma $SAT$, con $S\in GL_m$ e $T\in GL_n$; un particolare elemento di questa classe di equivalenza è la forma normale di Smith di A).
Ora, pensa a questa domanda: per matrici quadrate, che differenza c'è tra l'azione per coniugio di GL su \(M_n(K)\) e l'azione bilatera \(A\mapsto PAQ\)?
"fulcanelli":
Anche le matrici non quadrate hanno una nozione di "autovalore": si chiamano "valori singolari", e sono gli autovalori della matrice \(A^tA\) https://it.wikipedia.org/wiki/Decomposi ... _singolari
Un altro senso in cui si può associare una "autoteoria" a una matrice non quadrata è la forma normale di Smith https://en.wikipedia.org/wiki/Smith_normal_form
Interessante!
"fulcanelli":
... particolarmente semplice dell'orbita dell'azione per coniugio \(A\mapsto P^{-1}AP\) di GL su \(M_n(K)\). Questa azione è bilatera.
Per matrici non quadrate bisogna stare più attenti sia a definire l'azione (destra, di \(GL_n\), e sinistra, di \(GL_m\)), sia a definire le orbite dell'azione (nell'orbita di A ci sono tutte le matrici della forma $SAT$, con $S\in GL_m$ e $T\in GL_n$; un particolare elemento di questa classe di equivalenza è la forma normale di Smith di A).
Non c'ho capito niente, sorry! Sono piuttosto ignorante in materia non essendo un matematico
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