Autovalori Autovettori
Ciao ragazzi sono nuovo del forum e innanzitutto CIAO
Mercoledi prossimo ho un esame di analisi B
e nn ho capito piccole cose per esempio
data una matrice 3x3 tipo:
5 6 2
4 1 1
1 0 0
come faccio a trovare gli autovalori e autovattori?
in piu come si vede se è diagonalizzabile?
Aiutatemi, per favore.
Mercoledi prossimo ho un esame di analisi B
e nn ho capito piccole cose per esempio
data una matrice 3x3 tipo:
5 6 2
4 1 1
1 0 0
come faccio a trovare gli autovalori e autovattori?
in piu come si vede se è diagonalizzabile?
Aiutatemi, per favore.
Risposte
Anche se mi dite dove trovalre delle slide semplici semplici mi accontento
Sia $M(f)inK^(nxn)$ la matrice associata all'endomorfismo $f$ di un $K$ spazio vettoriale di dimensione $n$ rispetto a una determinata base. Un elemento $lambda$ è un autovalore dell'endomorfismo $f$ se e solo se $|A-lambdaI|=0$ dove $I$ è la matrice unità di ordine $n$.
In altre parole, per trovare gli autovalori di un endomorfismo di cui conosci la matrice associata, non devi fare altro che sottrarre una variabile $lambda$ agli elementi della diagonale principale, calcolare il determinante di tale matrice, e vedere per quali valori di $lambda$ tale determinante è nullo.
Dallo sviluppo del determinante otterrai un polinomio in $lambda$, detto polinomio caratteristico; gli autovalori possono anche essere visti come radici di tale polinomio.
Supponiamo ora che $lambda$ sia uno degli autovalori trovati, allora l'insieme dei vettori $v_(lambda)$ tali che $f(v_(lambda))=lambdav_(lambda)$ costituiscono gli autovettori associati all'autovalore $lambda$. Si ha evidentemente $f(v_(lambda))-lambdav_(lambda)=0$ da cui segue che per trovare l'autospazio associato a $lambda$ (cioè l'insieme degli autovettori associati a $lambda$) basta trovare $Ker(f_(lambda))$ dove $f_(lambda)=f-lambdav$ quindi non devi far altro che risolvere il sistema $(A-IX)=0$.
Per vedere se la matrice è diagonalizzabile devi controllare che per ogni autovalore coincidano la molteplicità algebrica e quella geometrica, cioè la sua molteplicità visto come radice del polinomio caratteristico e la dimensione dell'autospazio associato.
In altre parole, per trovare gli autovalori di un endomorfismo di cui conosci la matrice associata, non devi fare altro che sottrarre una variabile $lambda$ agli elementi della diagonale principale, calcolare il determinante di tale matrice, e vedere per quali valori di $lambda$ tale determinante è nullo.
Dallo sviluppo del determinante otterrai un polinomio in $lambda$, detto polinomio caratteristico; gli autovalori possono anche essere visti come radici di tale polinomio.
Supponiamo ora che $lambda$ sia uno degli autovalori trovati, allora l'insieme dei vettori $v_(lambda)$ tali che $f(v_(lambda))=lambdav_(lambda)$ costituiscono gli autovettori associati all'autovalore $lambda$. Si ha evidentemente $f(v_(lambda))-lambdav_(lambda)=0$ da cui segue che per trovare l'autospazio associato a $lambda$ (cioè l'insieme degli autovettori associati a $lambda$) basta trovare $Ker(f_(lambda))$ dove $f_(lambda)=f-lambdav$ quindi non devi far altro che risolvere il sistema $(A-IX)=0$.
Per vedere se la matrice è diagonalizzabile devi controllare che per ogni autovalore coincidano la molteplicità algebrica e quella geometrica, cioè la sua molteplicità visto come radice del polinomio caratteristico e la dimensione dell'autospazio associato.
Grazie giuseppe
ma mi puoi svolgere in breve l'esempio della mia matrice?
perchè se nn vedo lo svolgimento di una cosa difficilmente la capisco.
Per favore
grazie
ma mi puoi svolgere in breve l'esempio della mia matrice?
perchè se nn vedo lo svolgimento di una cosa difficilmente la capisco.
Per favore
grazie
comincia calcolando il determinante della matrice $A- \lambda I$ (A è la tua matrice)
Allora, prendi quella matrice,
cioè
$((5,6,2),(4,1,1),(1,0,0))$
Quello che dobbiamo fare per vedere se è diagonalizzabile è risolvere l'equazione caratteristica, cioè, come detto da Giuseppe, $det(A - \lambdaI)=0$. I è la matrice identità, quindi questa:
$((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$
$\lambda$ è $\lambda$, cioè uno scalare generico.
$\lambdaI=((\lambda,0,0),(0,\lambda,0),(0,0,\lambda))$
quindi, dovendo calcolare il determinante di $A-\lambdaI$, andiamo ad eseguire questa sottrazione.....
$((5,6,2),(4,1,1),(1,0,0))-((\lambda,0,0),(0,\lambda,0),(0,0,\lambda))=((5-\lambda,6,2),(4,1-\lambda,1),(1,0,-\lambda))$
Adesso calcoli il determinante di questa matrice, lo eguagli a 0 e vedi per quali valori di $\lambda $ si annulla, quelli sono gli autovalori se ne trovi 3 distinti (la matrice è 3x3) la matrice è diagonalizzabile.
Per trovare gli autovettori devi risolvere il sistema $(A-\lambdaI)X = 0$, un sistema per ogni autovalore trovato. Troverai così 3 auovettori. Fine dei giochi.
OT
Io l'esame su 'ste cose ce l'ho domani.......stasera birrone benaugurante
cioè
$((5,6,2),(4,1,1),(1,0,0))$
Quello che dobbiamo fare per vedere se è diagonalizzabile è risolvere l'equazione caratteristica, cioè, come detto da Giuseppe, $det(A - \lambdaI)=0$. I è la matrice identità, quindi questa:
$((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$
$\lambda$ è $\lambda$, cioè uno scalare generico.
$\lambdaI=((\lambda,0,0),(0,\lambda,0),(0,0,\lambda))$
quindi, dovendo calcolare il determinante di $A-\lambdaI$, andiamo ad eseguire questa sottrazione.....
$((5,6,2),(4,1,1),(1,0,0))-((\lambda,0,0),(0,\lambda,0),(0,0,\lambda))=((5-\lambda,6,2),(4,1-\lambda,1),(1,0,-\lambda))$
Adesso calcoli il determinante di questa matrice, lo eguagli a 0 e vedi per quali valori di $\lambda $ si annulla, quelli sono gli autovalori se ne trovi 3 distinti (la matrice è 3x3) la matrice è diagonalizzabile.
Per trovare gli autovettori devi risolvere il sistema $(A-\lambdaI)X = 0$, un sistema per ogni autovalore trovato. Troverai così 3 auovettori. Fine dei giochi.
OT
Io l'esame su 'ste cose ce l'ho domani.......stasera birrone benaugurante
allora vediamo se ho capito sugli autovalori
trovo il determinante di quella matrice lavorando sul primo termine della prima riga e colonna
se faccio bene i conti esce Lambda= + o - sqtr 5
quindi sono due autovalori la matrice nn è diagonalizzabile? giusto
Per gli autovettori invece nn ho capito
trovo il determinante di quella matrice lavorando sul primo termine della prima riga e colonna
se faccio bene i conti esce Lambda= + o - sqtr 5
quindi sono due autovalori la matrice nn è diagonalizzabile? giusto
Per gli autovettori invece nn ho capito
Se non ho sbagliato il conto, non si possono trovare facilmente gli zeri del polinomio caratteristico. Però si può dimostrare con metodi analitici (monotonia e comportamento all'infinito) che esso ammette tre zeri reali distinti, quindi la matrice è diagonalizzabile.
Forse ti conviene provare con una matrice più ragionevole, per esempio
$((0,1,1),(0,2,0),(-1,1,2))$
Edito: poi prova anche con
$((1,1,0),(0,2,0),(0,1,1))$
Ciao ciao.
Forse ti conviene provare con una matrice più ragionevole, per esempio
$((0,1,1),(0,2,0),(-1,1,2))$
Edito: poi prova anche con
$((1,1,0),(0,2,0),(0,1,1))$
Ciao ciao.
"Dottor P++":
Allora, prendi quella matrice,
OT
Io l'esame su 'ste cose ce l'ho domani.......stasera birrone benaugurante
ho scodellato un 27.grazie a tutti coloro che mi hanno dato supporto
Ma si studia Algebra lineare nell'esame di Analisi? non era nell'esame di Geometria?
Boh! Io ho dato "Algebra lineare e geometria"
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