Autovalori-autospazi
Potreste spiegarmi come risolvere passo-passo anche questo esercizio:
sia A l'operatore di R3 rappresentato dalla matrice
(2 2 -1)
(0 0 1)
(0 2 1)
determinare:
- autovalori di A con molteplicita' algebrica
- autospazi di A con basi e dimensioni
- eventuale matrice diagonale D che rappresenti l'operatore A e la matrice diagonalizzante N relativa a D se esiste
altrimenti giustificare la risposta
Ciao, Anna
sia A l'operatore di R3 rappresentato dalla matrice
(2 2 -1)
(0 0 1)
(0 2 1)
determinare:
- autovalori di A con molteplicita' algebrica
- autospazi di A con basi e dimensioni
- eventuale matrice diagonale D che rappresenti l'operatore A e la matrice diagonalizzante N relativa a D se esiste
altrimenti giustificare la risposta
Ciao, Anna
Risposte
Gli autovalori di $A$ sono tutte e sole le costanti $\lambda$, reali o complesse, tali che la matrice $A-\lambda I$ è singolare.
Per trovare gli autovalori quindi si costruisce la matrice $A-\lambda I$, dove $I$ è la matrice identità, si scrive il polinomio caratteristico, ovvero $\det[A-\lambda I]$, si uguaglia a zero e si risolve l'equazione rispetto a $\lambda$, le soluzioni di tale equazione sono gli autovalori.
Facendo i conti si trova un autovalore $\lambda_{1}=2$ con molteplicità algebrica $2$, un autovalore $\lambda_{2}=-1$ con molteplicità algebrica $1$.
Per trovare gli autospazi, con basi e dimensioni, si ragiona in questo modo: per prima cosa si considera un vettore di variabili, $((x),(y),(z))$, in generale l'equazione cartesiana dell'autospazio relativa all'i-esimo autovalore si trova risolvendo il sistema $(A-\lambda_{i} I)((x),(y),(z))=\mathcal{O}$, dove con $\mathcal{O}$ indico il vettore nullo.
Ti risolvo solo il caso del primo autospazio, quello relativo a $\lambda_{1}=2$:
la matrice $A-\lambda_{1} I=((0,2,-1),(0,-2,1),(0,2,-1))$.
Il sistema da risolvere è quindi: $((0,2,-1),(0,-2,1),(0,2,-1)) ((x),(y),(z))=\mathcal{O}$, ovvero
${(2y-z=0),(-2y+z=0),(2y-z=0):}$
Moltiplicando per $-1$ la seconda si vede che tutte le equazioni sono uguali, quindi l'equazione cartesiana dell'autospazio relativo all'autovalore $2$ è: $2y=z$.
Si hanno tre variabili e una sola equazione, quindi ci sono due parametri liberi, ponendo $x=\alpha$ e $z=\beta$ si ottiene l'espressione del generico vettore appartenente all'autospazio considerato:
$((\alpha),(2\beta),(\beta))=\alpha((1),(0),(0))+\beta((0),(2),(1))$.
Quindi questo primo autospazio ha come base i due vettori $((1),(0),(0))$ e $((0),(2),(1))$, pertanto la sua dimensione è $2$, quindi molteplicità algebrica e geometrica di questo autovalore coincidono.
Ti lascio per esercizio il calcolo dell'altro autospazio.
Questo autovalore è regolare, anche l'altro è regolare, perché ha molteplicità $1$, quindi la matrice $A$ è diagonalizzabile, ovvero esiste una matrice diagonalizzante $N$, detta anche di cambio di coordinate, tale che:
$D=N^{-1}AN$, dove $D$ è una matrice diagonale con gli stessi autovalori di $A$, ovvero $D=((2,0,0),(0,2,0),(0,0,1))$.
Per determinare $N$ si procede in questo modo:
i vettori che compongono la base dell'autospazio relativo al primo autovalore sono $((1),(0),(0))$ e $((0),(2),(1))$, quindi le prime due colonne di $N$ saranno questi due vettori.
Sia $((a),(b),(c))$ un vettore che compone la base del'autospazio relativo all'altro autovalore, allora questo sarà la terza colonna di $N$, quindi la matrice $N$ è questa:
$N=((1,0,a),(0,2,b),(0,1,c))$
Per trovare gli autovalori quindi si costruisce la matrice $A-\lambda I$, dove $I$ è la matrice identità, si scrive il polinomio caratteristico, ovvero $\det[A-\lambda I]$, si uguaglia a zero e si risolve l'equazione rispetto a $\lambda$, le soluzioni di tale equazione sono gli autovalori.
Facendo i conti si trova un autovalore $\lambda_{1}=2$ con molteplicità algebrica $2$, un autovalore $\lambda_{2}=-1$ con molteplicità algebrica $1$.
Per trovare gli autospazi, con basi e dimensioni, si ragiona in questo modo: per prima cosa si considera un vettore di variabili, $((x),(y),(z))$, in generale l'equazione cartesiana dell'autospazio relativa all'i-esimo autovalore si trova risolvendo il sistema $(A-\lambda_{i} I)((x),(y),(z))=\mathcal{O}$, dove con $\mathcal{O}$ indico il vettore nullo.
Ti risolvo solo il caso del primo autospazio, quello relativo a $\lambda_{1}=2$:
la matrice $A-\lambda_{1} I=((0,2,-1),(0,-2,1),(0,2,-1))$.
Il sistema da risolvere è quindi: $((0,2,-1),(0,-2,1),(0,2,-1)) ((x),(y),(z))=\mathcal{O}$, ovvero
${(2y-z=0),(-2y+z=0),(2y-z=0):}$
Moltiplicando per $-1$ la seconda si vede che tutte le equazioni sono uguali, quindi l'equazione cartesiana dell'autospazio relativo all'autovalore $2$ è: $2y=z$.
Si hanno tre variabili e una sola equazione, quindi ci sono due parametri liberi, ponendo $x=\alpha$ e $z=\beta$ si ottiene l'espressione del generico vettore appartenente all'autospazio considerato:
$((\alpha),(2\beta),(\beta))=\alpha((1),(0),(0))+\beta((0),(2),(1))$.
Quindi questo primo autospazio ha come base i due vettori $((1),(0),(0))$ e $((0),(2),(1))$, pertanto la sua dimensione è $2$, quindi molteplicità algebrica e geometrica di questo autovalore coincidono.
Ti lascio per esercizio il calcolo dell'altro autospazio.
Questo autovalore è regolare, anche l'altro è regolare, perché ha molteplicità $1$, quindi la matrice $A$ è diagonalizzabile, ovvero esiste una matrice diagonalizzante $N$, detta anche di cambio di coordinate, tale che:
$D=N^{-1}AN$, dove $D$ è una matrice diagonale con gli stessi autovalori di $A$, ovvero $D=((2,0,0),(0,2,0),(0,0,1))$.
Per determinare $N$ si procede in questo modo:
i vettori che compongono la base dell'autospazio relativo al primo autovalore sono $((1),(0),(0))$ e $((0),(2),(1))$, quindi le prime due colonne di $N$ saranno questi due vettori.
Sia $((a),(b),(c))$ un vettore che compone la base del'autospazio relativo all'altro autovalore, allora questo sarà la terza colonna di $N$, quindi la matrice $N$ è questa:
$N=((1,0,a),(0,2,b),(0,1,c))$
Ottimo Tipper, la tua spiegazione è stata veramente didattica !!!
Speriamo che serva a Anna.interfree .
Speriamo che serva a Anna.interfree .
Speriamo! 
Grazie, ciao
Anna
Anna
Salve ragazzi mi potreste spiegare cortesemente il procedimento per diagonalizzare una forma quadratica?
Ad esempio c'è un esercizio che dice:"Si diagonalizzi la seguente forma quadratica"
$9x_1^2-4x_1x_2+25x_2^2$
GRAZIE PER L'AIUTO!!!!!!
Ad esempio c'è un esercizio che dice:"Si diagonalizzi la seguente forma quadratica"
$9x_1^2-4x_1x_2+25x_2^2$
GRAZIE PER L'AIUTO!!!!!!
Scusa Tipper ma nn mi torna una cosa:
quindi $2y=z$ non equivale a: $y=1/2z$
da cui segue l'autovettore: $[a,b/2,b]$ invece che: $[a,2b,b]$?
scusa non è per essere pignoli ma è solo per avere delle conferme che non stia sbagliando!
Moltiplicando per -1 la seconda si vede che tutte le equazioni sono uguali, quindi l'equazione cartesiana dell'autospazio relativo all'autovalore 2 è: 2y=z.
quindi $2y=z$ non equivale a: $y=1/2z$
da cui segue l'autovettore: $[a,b/2,b]$ invece che: $[a,2b,b]$?
scusa non è per essere pignoli ma è solo per avere delle conferme che non stia sbagliando!
"blulaserstar":
quindi $2y=z$ non equivale a: $y=1/2z$
da cui segue l'autovettore: $[a,b/2,b]$ invece che: $[a,2b,b]$?
Credo sia un errore da parte di Tipper.
Ponendo $z = beta$ si ottiene $y = beta/2$ e quindi autovettori del tipo $(alpha, beta/2, beta)$, come nel tuo caso.
Ovviamente avrei potuto scrivere $(13 alpha, 15 beta/2, 15 beta)$ ottenendo sempre gli stessi autovettori.
E' equivalente, esistono infiniti modi di scrivere le equazioni cartesiane di un autospazio.
C'è qualcuno che mmi aiuta??
"Tex87":
C'è qualcuno che mmi aiuta??
Scrivi la matrice della forma quadratica e poi la diagonalizzi.
Nel tuo caso la matrice è $A = ((3,-2),(-2,5))$.
Hai ragione blulaserstar, la base e’ del tipo $( 1, 0, 0), ( 0, 1, 2)$
Volendo essere ancora un po’ piu’ pignoli anche la matrice diagonale D non e’ corretta, l’elemento $a_33$ e’ -1, non 1.
Avendo letto molti posts di Tipper (che mi ha aiutato in varie occasioni) si tratta comunque solo di una svista.
Volendo essere ancora un po’ piu’ pignoli anche la matrice diagonale D non e’ corretta, l’elemento $a_33$ e’ -1, non 1.
Avendo letto molti posts di Tipper (che mi ha aiutato in varie occasioni) si tratta comunque solo di una svista.
Avete ragione voi, chiedo venia!
È proprio vero, la fretta è cattiva consigliera...
È proprio vero, la fretta è cattiva consigliera...
"Eredir":
... autovettori del tipo $(alpha, beta/2, beta)$, come nel tuo caso.
Ovviamente avrei potuto scrivere $(13 alpha, 15 beta/2, 15 beta)$ ottenendo sempre gli stessi autovettori.
E' equivalente, esistono infiniti modi di scrivere le equazioni cartesiane di un autospazio.
$(15 alpha, 15 beta/2, 15 beta)$ o $(13 alpha, 13 beta/2, 13 beta)$, proprio per essere pignoli
"Tipper":
$(15 alpha, 15 beta/2, 15 beta)$ o $(13 alpha, 13 beta/2, 13 beta)$, proprio per essere pignoli
Va bene anche $(13 alpha, 15 beta/2, 15 beta)$, dal momento che $alpha$ è un parametro libero.
Basta pensare che per $alpha = 15/13 x$ ottengo gli stessi vettori al variare di $x$.
Ok, il concetto sembra chiaro a tutti.
Passiamo alla lezione n. 2: "Capire l'ironia (questa sconosciuta)"
Passiamo alla lezione n. 2: "Capire l'ironia (questa sconosciuta)"
"sigma":
Ok, il concetto sembra chiaro a tutti.
Passiamo alla lezione n. 2: "Capire l'ironia (questa sconosciuta)"
Ho proprio bisogno di questa lezione, dal momento che l'intervento non mi sembrava ironico.
ok grazie...
giuro che non volevo riprendere nessuno solo essere sicuro di aver capito bene un argomento che lo stesso tipper ha saputo insegnarmi da 10 leggendo i suoi post!
giuro che non volevo riprendere nessuno solo essere sicuro di aver capito bene un argomento che lo stesso tipper ha saputo insegnarmi da 10 leggendo i suoi post!
ora passiamo alla lezione n.3 : il lecchinaggio
"blulaserstar":
ok grazie...
giuro che non volevo riprendere nessuno solo essere sicuro di aver capito bene un argomento che lo stesso tipper ha saputo insegnarmi da 10 leggendo i suoi post!
Solo 10?!? Allora mancano ancora 8 punti per arrivare alla sufficienza...
"Eredir":
[quote="sigma"]Ok, il concetto sembra chiaro a tutti.
Passiamo alla lezione n. 2: "Capire l'ironia (questa sconosciuta)"
Ho proprio bisogno di questa lezione, dal momento che l'intervento non mi sembrava ironico.
[/quote]Ho sbagliato due volte, siamo d'accordo, ma ho risposto con ironia (avevo messo anche lo smile per aiutare...).
"Tipper":
Ho sbagliato due volte, siamo d'accordo, ma ho risposto con ironia (avevo messo anche lo smile per aiutare...).
Ti chiedo scusa, non lo avevo capito.
E' uno degli svantaggi dei nuovi arrivati.
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