Autovalori

[fireball-votailprof]

Come faccio a calcolare gli autovalori di tale matrice?

$((-7,1,-10),(2,1,4),(5,-1,1))

a me viene un polinomio irriducibile

[franced]

"Andre@":
$((-7,1,-10),(2,1,4),(5,-1,1))

gli autovalori li ho già scritti in un altro messaggio precedente;
gli autovettori sono

$v_1 = ((0.7384606832),(0.3726752292),(-0.02291927674))$

$v_2 = ((0.4630769663 + 0.3500805386*I),(-0.1863376146 - 0.03513930309*I),(0.01145963838 - 0.4211367070*I))$

$v_3 = ((0.4630769663 - 0.3500805386*I),(-0.1863376146 + 0.03513930309*I),(0.01145963838 - 0.4211367070*I))$

[fireball-votailprof]

Non c'è bisogno...
Quando feci analisi 2 io non c'erano esercizi del genere..in pratica si determinano gli autovalori e poi gli autovettori associati?
Per $lambda=2$ il determinante è nullo,quindi cosa posso dire?
e per quanto riguarda i due autovalori complessi e coniugati come si procede?
Comunque devo scappare a lavoro...grazie delle eventuali delucidazioni e scusa per la perdita di tempo!

[fireball-votailprof]

l'ultimo monomio della terza equazione ha coefficiente $8$ e non $1$

[franced]

"Andre@":l'ultimo monomio della terza equazione ha coefficiente $8$ e non $1$

Questo migliora notevolmente le cose!!
Ora scrivo la soluzione.

[franced]

"Andre@":Non c'è bisogno...
Quando feci analisi 2 io non c'erano esercizi del genere..in pratica si determinano gli autovalori e poi gli autovettori associati?
Per $lambda=2$ il determinante è nullo,quindi cosa posso dire?
e per quanto riguarda i due autovalori complessi e coniugati come si procede?
Comunque devo scappare a lavoro...grazie delle eventuali delucidazioni e scusa per la perdita di tempo!

Nessuna perdita di tempo, scusa te se ho interpretato male il tuo problema.
Ora scrivo le soluzioni

[franced]

Con la modifica del termine $3,3$ le cose vanno diversamente:

$A=((-7,1,-10),(2,1,4),(5,-1,8))$


gli autovalori di $A$ sono

$lambda_1 = -2$

$lambda_2 = 2 + i$

$lambda_3 = 2 - i$

A questo punto calcoliamo gli autovettori:

$v_1 = ((2),(0),(-1))$

$v_2 = ((-1),(0),(1)) + i ((1),(-2),(-1))$

$v_3 = ((-1),(0),(1)) - i ((1),(-2),(-1))$ .

A questo punto costruiamo la matrice $M$ le cui colonne sono, nell'ordine,
$v_1$, la parte reale di $v_2$ e la parte immaginaria di $v_2$:

$M = ((2,-1,1),(0,0,-2),(-1,1,-1))$

le soluzioni del sistema scritto in forma di Jordan reale sono:

$((e^(-2t)),(e^(2t)cos(t)),(-e^(2t)sin(t)))$

per finire è sufficiente moltiplicare la matrice $M$ per il vettore appena scritto:

$((2,-1,1),(0,0,-2),(-1,1,-1)) ((e^(-2t)),(e^(2t)cos(t)),(-e^(2t)sin(t))) = ((2*e^(-2t)-e^(2t)cos(t)-e^(2t)sin(t)) , (2e^(2t)sin(t)), (-e^(-2t)+e^(2t)cos(t)+e^(2t)sin(t)))$

[fireball-votailprof]

"franced":Con la modifica del termine $3,3$ le cose vanno diversamente:

$A=((-7,1,-10),(2,1,4),(5,-1,8))$


gli autovalori di $A$ sono

$lambda_1 = -2$

$lambda_2 = 2 + i$

$lambda_3 = 2 - i$

A questo punto calcoliamo gli autovettori:

$v_1 = ((2),(0),(-1))$

$v_2 = ((-1),(0),(1)) + i ((1),(-2),(-1))$

$v_3 = ((-1),(0),(1)) - i ((1),(-2),(-1))$ .

A questo punto costruiamo la matrice $M$ le cui colonne sono, nell'ordine,
$v_1$, la parte reale di $v_2$ e la parte immaginaria di $v_2$:

$M = ((2,-1,1),(0,0,-2),(-1,1,-1))$

le soluzioni del sistema scritto in forma di Jordan reale sono:

$((e^(-2t)),(e^(2t)cos(t)),(-e^(2t)sin(t)))$

per finire è sufficiente moltiplicare la matrice $M$ per il vettore appena scritto:

$((2,-1,1),(0,0,-2),(-1,1,-1)) ((e^(-2t)),(e^(2t)cos(t)),(-e^(2t)sin(t))) = ((2*e^(-2t)-e^(2t)cos(t)-e^(2t)sin(t)) , (2e^(2t)sin(t)), (-e^(-2t)+e^(2t)cos(t)+e^(2t)sin(t)))$

non ricordo come si fa a calcolare gli autovettori!

[franced]

Per calcolare gli autovettori la questione è semplice:

se $lambda$ è un autovalore, ti calcoli il nucleo di $A - lambda I$ .