Autovalori
Ciao,
devo trovare le equazioni degli autospazi di T e dei loro complementi ortogonali rispetto ad una matrice A
\[\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 &1 &-1 & 0\\ 1 & 4 & 3 &0 \\ -3 &0 &0 &0 \end{pmatrix}\]
Poi devo trovare le basi ortogonali per tali autospazi e devo dire se A e diagonalizzabile.
Ho iniziato con il calcolo degli autovalori (2-\lambda )((1-\lambda)(-3-\lambda)(2-\lambda)4)+3((1-\lambda)(-3-\lambda )+4)\] ma mi trovo con \[(\lambda ^2-4\lambda +7)(\lambda +1)^2)\]
che non so risolvere in R. Dov'è che sbaglio?
Poi dovrei riuscire ad andare avanti. Grazie
devo trovare le equazioni degli autospazi di T e dei loro complementi ortogonali rispetto ad una matrice A
\[\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 &1 &-1 & 0\\ 1 & 4 & 3 &0 \\ -3 &0 &0 &0 \end{pmatrix}\]
Poi devo trovare le basi ortogonali per tali autospazi e devo dire se A e diagonalizzabile.
Ho iniziato con il calcolo degli autovalori (2-\lambda )((1-\lambda)(-3-\lambda)(2-\lambda)4)+3((1-\lambda)(-3-\lambda )+4)\] ma mi trovo con \[(\lambda ^2-4\lambda +7)(\lambda +1)^2)\]
che non so risolvere in R. Dov'è che sbaglio?
Poi dovrei riuscire ad andare avanti. Grazie
Risposte
hai sbagliato a calcolare il determinante. dovresti ottenere $ -lamda(2-lambda)(lambda^2-4lambda+7) $
questo ha autovalori sia reali (0 e 2) sia complessi ( $ 2+-isqrt3 $ )
questo ha autovalori sia reali (0 e 2) sia complessi ( $ 2+-isqrt3 $ )
mah, ho provato a ricontrollare ma mi viene sempre il mio risultato. In ogni caso, se ho autovalori complessi come trovo gli autospazi e i complementi ortogonali?
se posti i calcoli possiamo vedere insieme gli errori (miei o tuoi).
comunque per trovare gli autovettori associati ad autovalori complessi e coniugati devi procedere come sempre ma il vettore delle incognite per calcolare il sottospazio è un generico numero complesso, ovvero
$ ( ( -isqrt3 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -1-isqrt3 , -1 , 0 ),( 1 , 4 , 1-isqrt3 , 0 ),( -3 , 0 , 0 , -2-isqrt3 ) ) ( ( a+ib ),( c+ i d ),( e+i f ),( g+ih ) )=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
ora scrivi il sistema lineare omogeneo associato, fai i calcoli e dividi la parte reale da quella immaginaria e poi imponi che sia quella reale che quella immaginaria siano nulle. ottieni (a meno di miei errori di calcolo)
$ { ( -iasqrt3+bsqrt3=0 ),( (-c+dsqrt3-e)+i(-csqrt3-d-f)=0 ),( (a+4c+e+fsqrt3)+i(b+4d-sqrt3+f)=0 ),( (-3a-2g+hsqrt3)+i(-3b-gsqrt3-2h)=0 ):} $ che produce il seguente sistema di 8 equazioni ad 8 incognite:
$ { ( a=b=0 ),( -c+dsqrt3-e=0 ),( -csqrt3-d-f=0 ),( 4c+e+fsqrt3=0 ), ( 4d-esqrt3+f=0 ),( -2g+hsqrt3=0),( -gsqrt3-2h=0 ):} $ (ho già sostituito a,b=0)
risolvendo dovresti ottenere
$ { ( a=b=g=h=0 ),( e=-c+dsqrt3 ),(f=-csqrt3-d ):} $ con $ c,d in RR $
gli autovettori associati sono i vettori
$ ( ( a ),( c ),( e ),( g ) ) = ( ( 0 ),( c ),( -c+dsqrt3 ),( 0 ) ) $
$ ( ( b ),( d ),( f ),( h ) ) = ( ( 0 ),( d ),( -csqrt3-d ),( 0 ) ) $
a te i rimanenti calcoli
per il completamento ortogonale immagino tu debba fare un ragionamento analogo
comunque per trovare gli autovettori associati ad autovalori complessi e coniugati devi procedere come sempre ma il vettore delle incognite per calcolare il sottospazio è un generico numero complesso, ovvero
$ ( ( -isqrt3 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -1-isqrt3 , -1 , 0 ),( 1 , 4 , 1-isqrt3 , 0 ),( -3 , 0 , 0 , -2-isqrt3 ) ) ( ( a+ib ),( c+ i d ),( e+i f ),( g+ih ) )=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
ora scrivi il sistema lineare omogeneo associato, fai i calcoli e dividi la parte reale da quella immaginaria e poi imponi che sia quella reale che quella immaginaria siano nulle. ottieni (a meno di miei errori di calcolo)
$ { ( -iasqrt3+bsqrt3=0 ),( (-c+dsqrt3-e)+i(-csqrt3-d-f)=0 ),( (a+4c+e+fsqrt3)+i(b+4d-sqrt3+f)=0 ),( (-3a-2g+hsqrt3)+i(-3b-gsqrt3-2h)=0 ):} $ che produce il seguente sistema di 8 equazioni ad 8 incognite:
$ { ( a=b=0 ),( -c+dsqrt3-e=0 ),( -csqrt3-d-f=0 ),( 4c+e+fsqrt3=0 ), ( 4d-esqrt3+f=0 ),( -2g+hsqrt3=0),( -gsqrt3-2h=0 ):} $ (ho già sostituito a,b=0)
risolvendo dovresti ottenere
$ { ( a=b=g=h=0 ),( e=-c+dsqrt3 ),(f=-csqrt3-d ):} $ con $ c,d in RR $
gli autovettori associati sono i vettori
$ ( ( a ),( c ),( e ),( g ) ) = ( ( 0 ),( c ),( -c+dsqrt3 ),( 0 ) ) $
$ ( ( b ),( d ),( f ),( h ) ) = ( ( 0 ),( d ),( -csqrt3-d ),( 0 ) ) $
a te i rimanenti calcoli
per il completamento ortogonale immagino tu debba fare un ragionamento analogo
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